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integrazione il prolungamento da e 3 fino all' infinito del raggio vettore pas- 

 sante per e 3 , l'integrale V(u, x) sarà sviluppabile in serie di potenze intere 

 e positive di u per tutti i valori di u compresi in un cerchio di centro 

 u = e di raggio |e 3 |; sia essa serie: 



(16) V(u, x) = 2o a (a;)a" . 



n = \ 



I coefficienti o„(x) soddisfaranno manifestamente all'equazione ricor- 

 rente (6), e per i primi valori di n si avrà dalla (15), 



20j — 3a?o = — s' , 4o 2 — ( òxo l = s , 



da cui, confrontando colla (6) per n = ed n = l, viene s'= — o_ s , 

 s = — ©_,. Avendosi poi dalla (14) (per n = 0, l,...co) 



(17) .M^-f-*^, 



e 3 



il confronto colla (13) mostra che questa formola é valida altresì per 

 n=- — 1, n = — 2 . 



II sistema (17) ci fornisce un integrale notevole dell'equazione alle 

 differenze (6). Intanto ne abbiamo mediante la (17) un'espressione in for- 

 ma d'integrale definito, che colle notazioni tolte dalla teoria delle funzioni 

 ellittiche : 



t = p(w) , \/f= p V) , p(o) = e 3 

 si riduce a 



"° du 



(18) Q n (x)=J ' -JL- o_ 1 = o, o_ s = — C(o) = — 



o I 



n 



Inoltre, siccome la serie (16) converge entro un cerchio di raggio |e 3 |, 



o 1 



il limite del rapporto n "*" 1 per n = co non può essere maggiore di — in 



o n e 3 



valore assoluto, epperció (§ 4) il sistema o n {x) costituisce l'integrale di- 

 stinto dell' equazione (6). Ponendo o n (x) sotto la forma (7), si trovano facil- 

 mente i valori delle quantità (indipendenti da n) a, /?, y. Infatti, facendo 

 in (7) n = — 2, —1, 0, viene (v. § 3) 



o_ 8 = 2/?, <n_ l = y, o = a, 



