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L'equazione ricorrente inversa. 



10. Nel § precedente ci si é presentato uno sviluppo in serie i cui 

 coefficienti soddisfano all' equazione alle differenze di terz' ordine 



(21) (2n -+- l)F(n -+-1) — 3x(2n — l)F{n — 1) -+- 2(n — l)F(n — 2) = 



che si dirà inversa della (6) ; col cambiamento di n in — n essa si ri- 

 conduce, con lieve modificazione di scrittura, all'equazione (6). L'equazione 

 limite della (21) è secondo la regola data al § 4 : 



X 3 — 3a?X-+- 1 = 0, 



cioè la f= medesima, epperció il limite per n = co di - '„. . — sarà 



F(n) 



una delle radici e x , e 2 od e 3 : in generale la e 3 , eccezionalmente le altre 



due ; un solo integrale, l' integrale distinto, ha per limite di quel rapporto 



la e x . 



È facile formare quest'integrale distinto. Se infatti nella (14") prendiamo 



per limite superiore d' integrazione la e x , la serie di potenze negative di u 



secondo cui si sviluppa la V(u, x) converge in un cerchio di raggio | <?, | , 



talché indicati con a n {x) i coefficienti, dovrà essere 



lim an ^ ) = e l {x). 



Questo sistema ff n {x), di cui ci dovremo ora occupare, é dunque dato da 



e \ 

 r t"dt 



(22) a n {x) = l —=; {11 = 0, 1, 2,... co); 



^ f 



esso soddisfa alla (21), di cui è integrale distinto, colla condizione iniziale 



2 



(23) a 2 (x) — xa (x) = - . 



11. Come all'equazione (6), anche alle (21) si può soddisfare mediante 

 vari sistema di polinomi: ne definiremo tre, che denoteremo con A n (x), 

 B„(x), C n (x), i quali costituiscono un sistema fondamentale d'integrali della 



