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Ossarvazioni sulle radici dell' equazione /= . 



17. Preso un numero positivo k arbitrariamente piccolo, si può sem- 

 pre assegnare un numero positivo R tale che per |a?|>i? la radice e ì 

 minima in valore assoluto dell'equazione f= 0, sia in valore assoluto in- 

 feriore a R. 



A dimostrarlo, notiamo che da f= si deduce 



e~-i = òse, • 



e \ 



facendo 



e l = pe iò , x = re i% , 



dove a è un arco del primo quadrante, viene 



(35) p 2 cos 20 -\ cos = 3r cos a , p 2 sen 20 sen = 3r sen a . 



Intanto 



e i e 2 e z = — ! I 



onde se le radici non hanno tutte il modulo 1, il che si esclude eviden- 

 temente dalle (35) per r abbastanza grande, la e x ha il modulo certamente 

 minore d'uno. 

 Perciò sarà 



1 1 

 IH cos > 3r cos a , ed a fortiori Ih > 3r cos a ; 



cosi 



1 



In > 3r sen a 



P 



La quantità 1 -i supera dunque, per ogni a, la maggiore delle due 



quantità 3rcosa, 3rsenoc. Ma la prima di queste, per a compreso fra 

 e -'■ decresce da 3/ s a 3r^-—; la seconda, per a compreso fra ^e-, cre- 

 sce da 'òr ~- a 3r, onde Ih — si mantiene, per ogni a, superiore a 3r^>- . 



Serie V. — Temo I. 45 



