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Questa serie converge pure in ugual grado pei valori di \x\>R, e 

 quindi per un noto teorema del Weierstrass é sviluppabile per tali va- 



1 

 lori di x in serie di potenze di — ; essendo poi (§ 18) la e l una serie di 



potenze di — incominciante col termine di grado — 1 , la a„ sarà una 



OC 



serie di potenze incominciante col termine di grado — (n-t-1) in x, o 

 come si dice più brevemente una serie di potenze d'ordine — (/i-t-1). 



22. La condizione di convergenza delle (41), 



w\<l 



è soddisfatta per i punti esterni alla curva tricuspidale a ; lo sviluppo 



1 

 della (41) stessa in serie di potenze di — converge fuori di un cerchio di 



OC 



centro ed includente tutta la curva tricuspidale : il raggio del cerchio 

 deve dunque essere ^ . 



23. Le proprietà delle a n di essere dell'ordine — (n-t-1) e di soddi- 

 sfare all'equazione ricorrente (21) colla equazione iniziale (23) basta a de- 

 terminarle completamente. È facile vedere infatti che se prendiamo due 

 serie a coefficienti indeterminati a fì e a i7 e le leghiamo dalle equazioni 

 (dedotte dalle (21)) 



2 



9xa l — 2a = 5a 3 



3(2/i — l)nff„_ 1 — 2(n — l)a n _ 2 — {2n -i-l)a„_ Hl 



colla condizione che a 2 , a 3 , ...o - M+:1 siano rispettivamente dell'ordine — 3, 

 — 4, — (/i-t-2), i coefficienti delle a Q , o-j vengono determinati univoca- 

 mente. Determinate le a , o-, le equazioni stesse servono a dedurre le a n 

 per ogni indice n > 1. 



Tornando all'equazione (25), si vede che date a , a l , i polinomi A n , 

 B„, C„ hanno le proprietà di soddisfare all'equazione 



A n -+-B n a -t- C n a l = 



fino ai termini di grado — n (inclusivamente) in x. 



