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Convergenza delle serie formate colle P„ ed affini. 



24. Nei paragrafi precedenti abbiamo definito vari sistemi di funzioni 

 ricorrenti: le P„, Q n , R„, le A„, B n , C n , le a ri , ecc. Abbiamo trovato il 

 limite cui tende, per ce = co , il rapporto fra due funzioni consecutive di 

 uno stesso sistema, ed abbiamo visto che questo rapporto é una radice 

 dell' equazione f= o della sua reciproca. Infine abbiamo trovate le 

 curve del piano x lungo le quali si mantiene costante il modulo di una 

 delle radici della f=0. Questi risultati ci pongono in grado di rispondere 

 alla seguente domanda : « Entro quale campo converge una serie proce- 

 « dente per le funzioni P„, o per le funzioni di un altro dei sistemi de- 

 ce finiti in questo lavoro ? » 



Abbiasi dapprima lo sviluppo in serie 



oo 



S=2 c n P n {x) , 



n = 



ed il sistema dei coefficienti sia tale che 



(42) c n ^ a n , 



il che sta ad esprimere in modo abbreviato che se con tali coefficienti si 

 forma la serie 2 — , essa converge per |a?|>a. 

 Essendosi trovato che 



lini 



eW 



ne viene che la serie £ convergerà sotto la condizione lej(#)|> a. Onde 

 intanto la serie non potrà essere convergente se non è gc<1, per essere 

 e 1 la radice minima in valore assoluto della /. Inoltre la | e l \ si mantiene 

 costante ed uguale ad a lungo le curve indicate a § 20 con C a ; ognuna 

 di esse comprende tutte quelle per cui \e 1 \ è maggiore , perciò sarà 

 | e x (x) | > a entro il campo semplicemente connesso chiuso dalla curva C a . 



Entro questo campo la serie £ converge pure in ugual grado. Si parte 

 infatti dalle definizioni delle P n (x) 1 



= = Zt n P n (x) , 



[// 



