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dove lo sviluppo è convergente per tutti i valori di t inferiori in modulo 

 ad |ej(a?)|. Se ora si prende oc I superiore ad a per tanto poco quanto si vuole, 

 il campo connesso C Ul sarà tutto interno a C a e per x entro C a e 1 1 | < a^ 

 la funzione f—\ avrà un massimo valore assoluto L e si avrà : 



\Pn(CO)\<^, 



onde risulta immediatamente la convergenza in ugual grado della serie S 

 entro il campo C a , interno a C a e prossimo ad esso quanto si vuole. Si 

 ha dunque : 



« Una serie .S è convergente, se é c„ s, a" ed a < 1 , entro il campo 

 « semplicemente connesso chiuso dalla curva C a . Entro questo campo, 

 « escluso il contorno, la serie converge in ugual grado. Se la serie z\c n x n 

 « rappresenta una funzione trascendente intera, lo stesso è di S. » 



Gli stessi risultati valgono per le serie di funzioni Q n od R n . 



25. Abbiasi ora una serie di funzioni A n , della forma 



Oj = Zi C n A n , 

 n = 



ferma sempre la posizione (42). Essendo 



n = oo -fin 



\ 



la serie S x convergerà sotto la condizione | e 3 1 < - . Ora la | e 3 \ è costante 



ed uguale ad a lungo le curve indicate a § 20 con C a ' : esse si riducono 

 al punto x = per a = 1 e si dilatano all'infinito per a crescente da 1 

 all' co . Dovrà dunque essere a < 1 perché la S 1 possa essere convergente, 

 ed in queste ipotesi la serie convergerà entro il campo semplicemente 

 connesso chiuso dalla curva C± . Questo campo sarà tanto maggiore quanto 

 più a sarà piccolo, e per a = il campo di convergenza comprenderà 

 tutto il piano. 



Come a § precedente, si prova la convergenza in ugual grado della 

 serie S x per l'interno del campo C±. 



Analoghe considerazioni conducono agli stessi risultati per le serie di 

 B n (x) o di C„(x). 



26. Si consideri infine una serie di funzioni a„(x) 



S '== 2 e n a n (x) , 



n=0 

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