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Sviluppo dì una data funzione analitica in serie di P„ o di a n . 



29. Nell'equazione (21) ricorrente delle a n e nella (23) si muti la varia- 

 bile x in z, e si moltiplichino le equazioni cosi modificate: 



3za (z) = 3a 2 (z) — 2 , 

 3(2n — l)zo n _£z) = (2n -+- l)a n _ 1 (z) -+- 2(n — l)(7 r ,_ 2 



rispettivamente per P e P„ _ x (x) , (/i = 2, 3,... co). 

 Sommando le equazioni cosi ottenute, si ha 



3z 2 (2n -+- l)a n (z)P„(x) = 



n = 



= — 2P -h2a P, -f- ^P,-)- S(j^)((2/i — l)P m _ 2 -H 2(/i -+- 1)P„ .^ . 



Ma per l' equazione ricorrente (5) delle P„(x) la parentesi nell' ultima som- 

 matoria si può sostituire con 



3(2n-hl)xP„, 

 e si ha pure 



onde sostituendo : 



3.o~ 1 (2/i -+- l)ff M (^)P n (a5) = — 2 -+- 3«ff P H- 9(7^ -+- 3d? S (2/i -+- l)ff^)P„(a?) 

 ed infine 

 (43) — L. . = | V (2n -+- l)a n (z)P n (x) . 



??=0 



30. È facile trovare la condizione cui debbono soddisfare la x e la z 

 affinchè lo sviluppo precedente sia convergente. Il rapporto fra un termine 

 ed il precedente è infatti nella serie (43) : 



(2n ■+- l)a„(z)P n (x) 



(2n — l)o- n _ 1 (^)P.»_ 1 (a?) 



