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 che per n = co si riduce al limite '; . . La condizione di convergenza del 



detto sviluppo è dunque espressa da 



\ep)\<Hx)\. 



Ora si è visto che le curve per le quali | e l | = p sono quelle indicate 

 con C ? a § 20 (esse sono le curve d ed i triangoli delle curve e della fi- 

 gura) ; internamente alla C 9 si ha | e, | >■ p , esternamente | e 1 | < p. Dunque 

 dato un valore a z, e fatto passare per quel punto la curva C p corrispon- 

 dente, i valori di x pei quali converge la serie (43) saranno tutti quelli 

 interni al campo semplicemente connesso chiuso da C ? . 



Per tutti i valori di x interni e di z esterni ad una curva C ? la serie 

 (43) converge inoltre incondizionatamente ed in ugual grado. 



31. Sia ora j\x) una funzione analitica data regolare in un intorno del 

 punto x = . Descriviamo una curva C p tutta contenuta in quest' intorno : 

 si prenda x interno alla C P e z al contorno della C p stessa ; si avrà al- 

 lora, integrando lungo C P : 





ini-' z — oc 

 onde 



c P 



(45) f(x) = — -^j ^ (2/i ■+- l)P v (x)fa n (z)f(z)dz . 



n=0 C p 



Ogni funzione f(x) regolare neh' intorno di x = é dunque sviluppabile 

 in serie di polinomi P„(x), della forma 



f(x) = 2a„P„(x), 



convergente entro un campo semplicemente connesso limitato da una 

 curva C P , e dove i coefficienti a n sono dati da 



(46) a„ = —r- i (2" -+- l)fa H {z)f(z)dz . 



c P 



32. Avendosi invece una funzione analitica j\z) data regolare in un 

 intorno di x = co , si descriverà una curva C p tutta compresa in queir in- 

 torno, e per x preso lungo la C ? e per s nello spazio infinito esterno alla 



