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C p si avrà 



,/ x 1 f f(x)dx „, . . 

 (47) . m = —j'l^-=2b„a„(z) 



con 



(48) b n = — ' ò{ ~ n £7^ff{x)P„{x)doc , 



c ? 



e lo sviluppo converge in tutto il campo esterno alla C ? . 



Giova però un' avvertenza. Le a n sono definite dalla loro espressione (22) 

 (in forma d'integrale definito) per ogni valore di x eccettuati i punti cri- 

 tici della e x , che sono le radici del discriminante Ax z — 1; fuori però della 

 curva tricuspidale a esse a n sono funzioni ad un valore e regolari. Se 

 nello sviluppo (43) o (47) s'intende dunque che le a„(x) abbiano ad essere 

 regolari, la C p si dovrà ritenere esterna alla curva tricuspidale a, cioè sarà 

 una delle curve designate nella figura con d. 



Con metodo analogo a quello che ci ha fatto ottenere gli sviluppi prece- 

 denti (45) e (47), si può trovare lo sviluppo di una funzione data nell'anello 

 compreso fra due curve C p , il quale sarà una serie di P„(x) e di a n {x). 



Equazioni miste differenziali e alle differenze per le P„. 



33. Come le funzioni sferiche, anche le P„ soddisfano oltrecché all'e- 

 quazione alle differenze (5), anche ad equazioni miste differenziali e alle 

 differenze che si ottengono facilmente come segue. 



Le P n essendo date dallo sviluppo in serie di potenze di t della funzione 



7X0 = 



l/t z — 3tx-hl 



che é regolare per 1 1 | < | e x (x) | , si avrà per il teorema di Cauchy ed in- 

 dicando con p una circonferenza di centro t = e di raggio minore di 

 I e x {x) | : 



(49) p (€C )-JLf. du _J_f T(u)du 



(p) v (p) 



Derivando, 



(?) 



