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 Ma la P„(x) si può scrivere 



J_ f (u 3 — 3ux -+- l)T\u)du ■ 



(?) 



onde segue l' equazione mista differenziale e alle differenze : 



(50) 3P, = 2P' n _ 2 — 6ocP n ' 4- 2P'„ +] . 



Un'altra equazione si ottiene integrando per parti l'espressione (49). 

 Si ha infatti, osservando che la parte fuori del segno è nulla : 



2*iP„w=-lf^-°°ir (a)d \ 



ip) 



onde 



(51) nP v + P'„_ 2 — a?P'„ = 0. 



È facile vedere che supposte vere due qualunque delle equazioni (5), 

 (50), (51), la terza ne viene di conseguenza. Combinando le (50) e (51) se 

 ne ricava senza difficoltà la 



(52) (2n-+-3)P r , = 2P'„+ 1 — AooP' n . 



In modo perfettamente analogo si trova che le a„ soddisfano alle equazioni 

 miste differenziali e alle differenze 



(53) 3a„ — 2a' n + 2 — 6axr'„ -+- 2a'„_ l , 



(54) (n -+- l)a„ = — o'n+ s H ~ xa '« > 

 dalla cui combinazione risulta 



(55) (2n -+- 5)<T„ = — Axa' n -+- 2a'„_ l . 



