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Equazioni differenziali lineari delle P„ e delle o„. 



34. Al pari delle funzioni sferiche di prima e di seconda specie, anche 

 le funzioni P„ e a n sono integrali di equazioni differenziali lineari. Ma 

 mentre le equazioni lineari delle funzioni sferiche appartengono al tipo 

 ipergeometrico di Gauss, le equazioni delle nostre nuove funzioni sono del 

 terz' ordine, con tre punti singolari a distanza finita ed uno all'infinito, ed 

 appartengono al tipo ipergeometrico generalizzato del Goursat '*', il quale 

 è caratterizzato dal fatto che negli sviluppi in serie degl' integrali, il rap- 

 porto fra due coefficienti consecutivi è una funzione razionale dell'indice. 



Per ottenere l'equazione differenziale lineare delle P n , procedo come 

 segue : dalla (52) ricavo colla derivazione 



i 2P n ' +1 = (2n -+- 3)P„ -+- 4xP n , 2P^ 2 = (2n ■+- 5)P„ +l ■+- 4xP^- 

 (56) J 2P,: +1 = (2n ■+- 1)P n ■+- 4xK , 2P^ 2 = (2n -+- 9)P; +1 -+- 4xP" n+x 



2p;; +1 = (2/i h- 1 1 )p: ■+■ axp: , 2p:^ 2 = &*. + i3)p; +] -4- axp:^ 



e dalla (51) deduco 



ll-L ,xJ — X±„^o ir ,. . 



Sostituendo in questa le formole dello specchio (56), in modo di sostituire 

 l'indice n-\-2 con nn-1, poi questo con n, giungo all'equazione lineare 

 delle P n 



(57) 4(4x 3 — l)P':+96x~P;—x(12rì*-+-.24n — 91)P n —n(2n-¥-3)(2ri-h9)P n -=Q. 



Con procedimento perfettamente simile si trova pure l'equazione lineare 

 delle a» : 



(58) 4(4x s —l)a:-hU4x 2 a'^—x(12n 2 —24ji—291)a' n —(n—3)(2n—7)(2n-i-b)<r n =0. 



35. I punti singolari di queste equazioni sono dati, come si vede su- 

 bito, da 



x = co , 4x 3 — 1 = 0: 



(*) Annales de l' Ecole Normale Supérieure. S. II, T. XII. 



