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sono cioè oltre al punto all'infinito, le radici del discriminante della/. Si 

 faccia ora in queste equazioni la posizione 



(59) a? = s ; 

 viene per la (57) una trasformata della forma 



(60) 108a*(4sr — l)(p'" -+- s{az -+- b)<p" ■+- (a,* -+- \)(p' -r-a 2 (p = Q 



ed una trasformata pure della stessa forma per la (58). Ora si vede subito 

 che queste equazioni, confrontate colla equazione generale del tipo iper- 

 geometrico del Goursat, vi sono contenute come caso particolare ; i loro 



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punti singolari sono £ = 0, ,3' = -, ^=co, e da esse risulta che negli svi- 

 luppi in serie di potenze di z delle P„ e delle a„ i coefficienti conse- 

 cutivi sono fra loro in un rapporto che é funzione razionale dell'indice, 

 col numeratore ed il denominatore di terzo grado nell'indice stesso. Ri- 

 sulta ancora da ciò che nello sviluppo di P„(x), gli esponenti di x sono 

 congrui rispetto al modulo 3, come si é già osservato, e che lo stesso av- 

 viene per la a„(x) nello sviluppo in serie di potenze negative di x. 



Molte osservazioni si potrebbero fare su queste equazioni lineari (57) 

 e (58) o sulle loro trasformate : in particolare si potrebbe notare che i loro 

 integrali appartengono ad una stessa specie ( *> , secondo l' espressione del 

 Poincaré, e che la presente Memoria non é altro in sostanza che lo studio 

 di alcuni sistemi ricorrenti contenuti in questa specie. Questo studio si 

 collega dunque col seguente problema, che sarebbe un nuovo ed interes- 

 sante argomento di ricerche di cui la teoria delle funzioni ipergeometriche 

 offre un primo esempio : « Trovare i sistemi ricorrenti contenuti in una 

 data specie differenziale lineare. » 



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CI Mém. Sur les fonetions zétafuehsiennes, p. 212. 



Serie V. — Tomo I. 47 



