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se n! è ritenuta essere la direzione della normale esterna. 



Delle due equazioni in U (18)«j la prima é valida in tutto lo spazio, la 

 seconda nei punti d'ogni superficie di discontinuità (a rigore, nei punti di 

 qualunque superfìcie), cioè tanto nei punti di a quanto in quelli di a (su- 

 perfìcie di discontinuità e terminali di S ). Queste equazioni (18) a j si pos- 

 sono considerare come il risultato dell'eliminazione di m a , m b , tn c fra 

 le (16). 



Per tal modo la soluzione del problema d'induzione viene a dipendere 

 dalla determinazione d'un' unica funzione U monodroma, continua e Anita 

 (per la sua definizione (17)), la quale deve possedere i requisiti seguenti : 



I. Di soddisfare in tutto lo spazio all'equazione (18) a ; 



II. Di avere le derivate prime continue e finite in tutto lo spazio, 

 tranne nei punti delle superfìcie di discontinuità, dove dev'essere soddis- 

 fatta l'equazione (18)&; 



III. Di diportarsi all'infinito come una funzione potenziale di masse 

 situate nel finito. 



Infatti, nota che sia una tal funzione U, le equazioni (17) a fanno cono- 

 scere senz'altro la distribuzione indotta m, mentre la (17) fa conoscere la 

 funzione potenziale V di questa distribuzione. 



Le precedenti condizioni I, II, III sono caratteristiche, cioè non possono 

 essere soddisfatte da due distinte funzioni U', U". Infatti la differenza U 

 di queste due supposte soluzioni, oltre che alle altre condizioni generali, 

 dovrebbe soddisfare, come facilmente si riconosce, alle due equazioni in 

 cui si convertono le (18) a) & per V o =0. Ora dalle equazioni (17)&, moltipli- 

 cate ordinatamente per le derivate di U e sommate, si deduce, con una 

 integrazione su tutto lo spazio e con riguardo al teorema generale (9), 



(18) d f4>(U)dS„ — 2nF{V , U) = 0, 



donde, per V = , 



(18) e fQ(V)dS m = 0. 



Ma la funzione quadratica $(U) é, per le ipotesi fatte sulla ^ e quindi 

 anche sulla 'V( U), essenzialmente positiva in tutto lo spazio : quindi que- 

 st' ultima equazione non può essere soddisfatta che da t^ssD dovunque ; 

 e ciò esclude ogni possibile differenza fra le due soluzioni supposte distinte. 



Cosi anche per questa via é stabilita l'unicità di soluzione del problema 

 d'induzione. 



§ 15. La dimostrazione precedente, messa a fronte di quella del § 13, 

 dà luogo ad alcune osservazioni. 



