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e la condizione (1) è allora identicamente soddisfatta ; in questo caso le 

 linee v = cost. sono geodeticamente parallele. Abbiamo dunque il teorema 

 se sopra una superficie S qualunque, u == eost. , v = cost. sono due sistemi 

 di linee soggetti alla sola condizione che per essi la (1) non si riduca a una 

 identità, le linee di stringimento e di allargamento del sistema di curve 

 v = cost. non possono essere che fra quelle lungo le qua/i è soddisfatta l'e- 

 quazione (1). 



Fra le linee però lungo le quali é verificata la (1) si può asserire con 

 certezza che sono di stringimento o di allargamento pel sistema v sola- 

 mente quelle lungo le quali la quantità : 



d 2 /EG — F 2 



jf (EG — F*\ 

 du 2 \ E ) 



o l' altra : 

 (2) 



àur our ùu- ììu hu \àu/ 



(che si ottiene moltiplicando la prima pel fattore positivo E 2 ) è rispettiva- 

 mente positiva o negativa ; per le linee (1) lungo le quali la quantità pre- 

 cedente è nulla si ha dunque incertezza e questa non si può togliere che 

 esaminando come si comportano lungo quelle linee le derivate rapporto a 



-p'r' jp2 



u d'ordine superiore della quantità = . In generale, se lungo una 



E 



linea L sono zero le derivate successive : 



d / EG — F 2 \ d 2 ( EG — F\ d n ~ l ( EG — F' 



du\ E /' du 2 \ E /' du n ~ l \ E 



e si trova che la prima derivata che lungo L non é zero é : 



( EG — F\ 

 \ E )> 



da' 1 



si ha che la linea L non é di stringimento né di allargamento quando n 

 è dispari ; è una linea di stringimento o di allargamento quando, essendo 

 n pari, la predetta derivata n ma é, lungo la linea L, rispettivamente posi- 

 tiva o negativa. 



Se poi si osserva che il raggio di curvatura geodetica R t delle trajet- 

 torie ortogonali delle linee o = cost. é dato dall' equazione : 



1 = 1 L(\/ EG — F 2 \ 



Rt i/EG — F**u\V E r 



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