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si può dire : le linee di stringimento o di allargamento di un sistema di 

 curve qualunque v tracciate sopra una superficie non possono trovarsi che 

 fra i luoghi dei punti nei quali le traiettorie ortogonali di quelle linee hanno 

 curvatura geodetica nulla,. 



II. 



Applicazione — Consideriamo la superficie luogo delle circonferenze 

 descritte con raggio arbitrario R attorno ai punti di una linea qualunque 

 L e nei piani normali di essa. 



In un punto qualunque Q, di L si prenda per assi di riferimento Q,% f 

 Qi? , £ì£ , la tangente, la normale principale e la binormale di L ; le coor- 

 dinate di un punto qualunque della circonferenza generatrice saranno : 



5 = 0, 12 = R cos u , C = R sen u , 



essendo u V angolo variabile che un raggio qualunque del cerchio forma 

 colla normale principale di L. 



Indicando quindi con x,y,z le coordinate di Q rispetto agli assi fìssi; 

 con (cosa, cos/?, cosy), (cos/l, cos,a, cosa;), (cosi, cosm, costi) i coseni 

 direttivi della tangente, della normale principale e della binormale di L ; 

 con p, r, v il raggio di curvatura, quello di torsione e l'arco di detta linea 

 e con X, Y, Z le coordinate di un punto qualunque della superficie gene- 

 rata, si avrà : 



X = x -+- R(cos X cos u -+- cos l sen u) , ecc. 



Derivando queste equazioni rapporto ad u e v , ed osservando che R 

 è funzione solamente di t>, si ottiene : 



è la (1) diviene : 



R 6 



9 



( 1 cos U \ • sen u = . 



Escludendo i casi R = , - = , nei quali la superficie si riduce ri- 

 spettivamente a una linea e a una superficie di rivoluzione, l'equazione 



