— 63G — 

 Esaminate allora le quantità : 



AR AR , .R 



— sen a cos u — sen u : — cos ~a — 4 — sen ~u — cos u 



P P P 



le quali si ottengono rispettivamente dalla derivata terza e quarta rapporto 

 a u delle quantità ^ moltiplicandole per un fattore essenzialmente 



positivo, si riscontra che, per essere ora R = p, lungo la linea M esse 

 divengono rispettivamente e 3. Quindi, anche nel caso di R = p , la li- 

 nea M è di stringimento. 



2 a ) Sia N la linea corrispondente alla soluzione u = ; siccome in 

 questo caso la (3) diviene : 



si deduce che la linea N é di stringimento quando R < p e di allarga- 

 mento quando R> p. 



Vi é incertezza quando R = p; ma in questo caso la derivata terza della 



quantità ~, annullandosi lungo N e la derivata quarta assumendo 



(ora che R — p), un valore positivo, si conclude che anche nel caso R = p 

 la linea N è di stringimento. 



3) Chiamando P la linea rappresentata dall'equazione u = jt, l'espres- 

 sione (3) diviene : 



-(-D 



la quale, essendo R e p essenzialmente positivi, é sempre negativa ; dun- 

 que la P è sempre una linea di allargamento. 



Dunque sulla superficie luogo delle circonferenze descritte con raggio va- 

 riabile R attorno ai vari punti di una linea qualunque L e nei piani nor- 

 mali di essa, vi sono al massimo quattro linee le quali possono essere di 

 stringimento o di allargamento rispetto al sistema dei cerchi. Esse sono: 

 le due linee M luoghi dei punti dove le circonferenze incontrano le rette po- 

 lari di h, la linea N luogo dei punti dove le circonferenze incontrano i 

 raggi di curvatura di L e la linea P luogo dei punti dove le circonferenze 

 incontrano i prolungamenti dei raggi di curvutura di L. 



Quando R > p , le due linee M sono di stringimento e le due N, P sono 

 di allargamento; quando H = p le due linee M e la N conincidono in una 

 sola linea di stringimento e P è una linea di allargamento, quando R < p 



