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le due linee M sono immaginarie, la N è una linea di stringimento e la P 

 di allargamento. 



Da questo teorema si rileva che, rispetto a un determinato sistema di 

 linee, una data curva può essere per un certo tratto linea di stringimento 

 e per un altro tratto linea di allargamento; ciò accade ad es. per la linea 

 JV la quale, rispetto al sistema di cerchi, è di allargamento quando /? > p 

 ed é di stringimento quando R < p. 



III. 



Essendo dato sopra una superficie qualunque <S un sistema di linee 

 arbitrarie, vogliamo determinare sopra S le linee L tali, che le tangenti 

 alle v nei punti dove esse sono incontrate da ciascuna delle L formino 

 delle superficie rigate 2 aventi le L per linee di stringimento. 



Se x, y, 2 sono le coordinate di un punto qualunque di & ed X, Y 7 Z 

 quelle di un punto qualunque di 2, si ha : 



X = x -+- t • cos a v , ecc. 



essendo cosa v , cos/? r , cosy„ i coseni direttivi delle tangenti alle e> = cost. 

 e / le porzioni delle generatrici di 2 contate da L. 



La condizione esprimente che 2 ha per linea di stringimento L é : 



cioè 



2d cos a ì} • doo = 



ex è cos a v , , ( ^èscè cos a r v ex è cos a t \ 1 ~èxè cos a 



, , „ ex e cos a r . 7 / „ ex e cos a r „ ox e cos a,\ 7 „ ex e cos a v 



diri-- — — -h dudclz-- — — - —+-2 — — — - -h«p~2- = 0: 



eu eri \ eu ev ev èu ) ov ev 



applicando quindi note forinole della geometria delle superficie, si può as- 

 serire che : l'equazione differenziale in coordinate u, v delle linee L doman- 

 date è la seguente 



(4 ) ( 2£ ^_^_A K +( E ^_^U, = . 



v ' \ èli 00 èli/ \ èli èo / 



Per l'argomento che ci occupa é di molta utilità l'equazione (4), non- 

 ché quella r-he ci dà una notevole espressione della curvatura geodetica 

 \ 



— di una linea qualunque L tracciata sopra una superficie. 

 ri 



