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Tale equazione, che prendiamo dalla teoria generale delle superfìcie, é 

 la seguente : 



1 di i/~E (F)E 7>G\ 



<°> R = -Ts + 2(EG-F*) {E^-Mr eni + 



■^-stb^ rs; -pi 2 ^ — h^— sento — i) 



2(EG — F)\E ìu c-u do l 



nelle quale i é l' angolo che L forme colle linee coordinate v = cost. e o 

 l'inclinazione delle linee coordinate. 



Se si osserva che neh' equazione (5) le linee coordinate v = cost. cor- 

 rispondono al valore i = 0, si ha che la condizione che le linee coordi- 



1 



nate v = cost. siano geodetiche è equivalente all' altra che risulti — = 



ri 



quando i = ; ciò ha luogo sempre e soltanto quando : 





CU l>U De 



con che la (1) diviene : 





(?) 



ìli ì>£? 



Dunque se lungo una linea tracciata sopra una superficie qualunque 

 sono verificate due delle tre equazioni (1), (6), (7), è necessariamente verifi- 

 cata anche la rimanente . 



Se la condizione (6) è soddisfatta identicamente, su tutta la superficie, 

 le v = cost. sono geodetiche ; se invece la (6) non è un identità, rappre- 

 senta una linea, e se applichiamo in questo caso quanto si é dimostrato 

 al n.° 1, si ha : quando le linee coordinate v = cost. non sono geodetiche, il 

 verificarsi dell' equazione (6) lungo una particolare linea L della superficie 

 indica ordinariamente che essa è una curva di stringimento o di allarga- 

 mento del sistema di linee t = eost. traiettorie ortogonali delle linee \=cost. 



Quando la (7) è soddisfatta identicamente su tutta la superficie, la (4) 

 si riduce a : 



2E>-£-E^-F^)d« = 0; 



CU cv cu / 



ma se escludiamo dalle nostre considerazioni le superficie sviluppabili, il 



