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moltiplicatore di du non può essere zero identicamente, poiché allora (per 

 la nota formula di Liouville che dà la curvatura totale di una superfìcie) 

 la superficie avrebbe curvatura totale nulla e quindi sarebbe sviluppabile. 

 Deve dunque essere du = 0, cioè u = costante : perciò il verificarsi 

 identicamente su tutta una superficie non sviluppabile dell'equazione (7) in- 

 dica che le linee coordinate u = cost. sono di stringimento per le superficie 

 rigate luoghi delle rette che toccano le v lungo le u. 



IV. 



Quando una linea L descritta sopra una superficie «S é una curva di 

 stringimento o di allargamento di un sistema di linee v e contemporanea- 

 mente è la linea di stringimento ordinaria della superficie rigata 2 luogo 

 delle tangenti alle v lungo L, diremo che L è una linea di stringimento 

 o di allargamento principale rispetto al sistema di linee v. 



La linea L sia una linea di stringimento o di allargamento principale 

 rispetto al sistema di linee t, trajettorie ortogonali delle e ; lungo la L 

 deve intanto essere soddisfatta l'equazione (6). Siccome poi L è la linea 

 di stringimento della superficie rigata luogo delle tangenti alle t lungo L, 

 è pure la linea di stringimento della superficie rigata luogo delle tangenti 

 alle linee e> trajettorie ortogonali delle t (poiché queste due superficie ri- 

 gate sono fra loro coniugate) ; quindi lungo la L è pure soddisfatta la (4), 

 la quale, in causa della (6), si riduce alla (7). 



Essendo allora soddisfatta la (6) e la (7), é pure soddisfatta la (1). 



Dunque se una linea L sopra una superficie è una curva di stringimento 

 o di allargamento principale rispetto a un sistema di linee non geodetiche, 

 in generale è pure una linea di stringimento o di allargamento principale 

 rispetto al sistema formato dalle trajettorie ortogonali delle linee del primo. 



Il teorema enunciato non é applicabile al caso in cui le linee del dato 

 sistema fossero geodetiche, perché le loro trajettorie ortogonali, essendo 

 geodeticamente parallele, non ammettono alcuna linea di stringimento né 

 di allargamento. 



Si supponga reciprocamente che la L sia una curva di stringimento o 

 di allargamento tanto del sistema di linee v = cost. quanto dell' altro 

 fz= così, di linee ortogonali alle prime; allora lungo la L risulta verificata 

 tanto l'equazione (1) quanto la (6) e conseguentemente anche la (7). — 

 L'equazione (4) é dunque verificata anch'essa lungo la L, il che prova 

 se una lincee L è, sopra una superficie qualunque, linea di stringimento o 

 di allargamento di un sistema di linee v e del sistema di linee t, trajettorie 



