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Ortogonali delle prime, è, rispetto a questi due sistemi di linee, uno curi: a 

 di stringimento o di allargamento principale. 



Se le linee v = cost. sono geodetiche della superficie, la condizione (6) 

 ó identicamente soddisfatta in tutta la superficie, e quindi anche lungo la 

 linea L di stringimento o di allargamento del dato sistema di linee. Ma 

 lungo tale linea é pure soddisfatta la (1), quindi (per quanto si è dimo- 

 strato al n.° 4) sarà pure soddisfatta la (7); ne viene di conseguenza che 

 lungo la linea L è verificata l' equazione (4), il che dimostra che la I è 

 la linea di stringimento ordinaria della superficie rigata luogo delle tan- 

 genti alle v lungo L. 



Dunque se un sistema qualunque di geodetiche di una superficie ammette 

 delle linee di stringimento o di allargamento, queste sono, rispetto al sistema 

 stesso, linee di stringimento o di allargamento principali. 



Reciprocamente la superficie rigata 2, luogo delle rette che toccano 

 una superficie S lungo una curva L, abbia L per la linea di stringimento; 

 si considerino come linee v le geodetiche di «S tangenti lungo L alle ge- 

 neratrici rettilinee di 2. 



Lungo la linea L è soddisfatta la (4); d'altronde, essendo in tutta la 

 superficie verificata la (6), quest'equazione è pure verificata lungo L, e 

 perciò, lungo tale linea, la (4) si riduce alla (8) ; essendo allora lungo L 

 verificate le (6), (7), è pure soddisfatta l'equazione (1). 



Dunque se la linea L, tracciata sopra una superficie S, è la curva di 

 stringimento della superficie rigata 2 luogo di un sistema di tangenti alla S 

 lungo L, in generale è una linea di stringimento o di allargamento (neces- 

 sariamente principale) del sistema di geodetiche di S che, lungo L, sono 

 tangenti alle generatrici rettilinee di 2. 



Rispetto a un sistema di linee v una linea L sia una curva di stringi- 

 mento o di allargamento principale ; allora L è la linea di stringimento 

 della superficie rigata 2 luogo delle tangenti alle v lungo L. 



Applicando quindi il teorema precedente abbiamo se una linea L de- 

 scritta sopra una superficie qualunque S è, rispetto a un sistema di linee 

 arbitrarie v, una linea di stringimento o di allargamento principale, in ge- 

 nerale è pure una linea di stringimento o di allargamento (necessariamente 

 principale) rispetto al sistema delle geodetiche di S che toccano le linee v 

 lungo L. 



Si possono generalizzare i teoremi che precedono nella maniera se- 

 guente. 



Combinando fra loro le equazioni (1), (6), si deduce l'altra: 



<8) E^- = F^ 



cu ov 



