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di modo che si può dire che quando, lungo una data linea L, sono soddi- 

 sfatte due delle tre relazioni (1), (6), (8), è necessariamente soddisfatta la 

 rimanente. 



Si supponga ora che una stessa linea L sopra una superficie sia una 

 curva di stringimento o di allargamento di due sistemi di linee isogonali 

 u, v ; assumendo queste come linee coordinate e chiamando i il loro an- 

 golo costante, si ha : 



EG — F 2 „ ,. EG — F 2 _, 



~ =G-sen-j, — = E- seni 



t, G 



in forza delle quali eguaglianze le equazioni differenziali delle linee di 

 stringimento o di allargamento dei due sistemi di linee r = cost., w — cost. 

 divengono : 



^ = 0, 9 * = 0. 



ÙU do 



Essendo allora, lungo la linea L, soddisfatte queste due equazioni, è pure 

 soddisfatta la (8) ; ma lungo la L è soddisfatta anche l' equazione (1), dun- 

 que lo sarà pure la (6) la quale, per un teorema precedente, esprime che 

 la L é una linea di stringimento o di allargamento del sistema di traiet- 

 torie ortogonali delle i\ La L è dunque, rispetto al sistema di linee r, una 

 linea di stringimento o di allargamento principale. 



Lo stesso ragionamento potendosi fare rispetto alle linee u, si ha il 

 teorema se sopra una superficie una linea L è una curva di stringimento 

 o di allargamento di due sistemi di linee isogonali, rispetto a ciascuno di 

 tali sistemi è una linea di stringimento o di allargamento principale (e 

 quindi, nel caso che nessuno dei predetti sistemi sia formato da geodetiche, 

 è pure una linea di stringimento o di allargamento delle loro traiettorie 

 ortogonali). 



Se nell'equazione (5) si suppongono le linee coordinate ortogonali, ri- 

 sulta F=0 e quindi, indicando con R u , R v i raggi di curvatura geodetica 

 delle dette linee coordinate & = cost., e = cost. , si ha: 



1 di sen i cos i 



() R~~ds~~*~~Jir^~~RV 



Si supponga ora che la L sia, rispetto a un sistema di linee e = cosi 

 non geodetiche, una linea di stringimento o di allargamento principale ; 

 allora é pure una linea di stringimento o di allargamento rispetto al si- 

 stema delle linee t = cost. traiettorie ortogonali delle v. Lungo tale linea 



Serie V. — Tomo I. SI 



