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si deve quindi avere : 



Ru Rv 



è F equazione precedente si riduce a : 



1— ÉÌ 

 R~ ds' 



Se dunque consideriamo sulla superficie un sistema di linee t x = cost. 

 trajettorie isogonali delle v, queste linee, lungo L, avranno nulla la curva- 

 tura geodetica; perciò la linea L sarà, in generale, (n.° 1) una linea di 

 stringimento o di allargamento del sistema di linee t, trajettorie ortogonali 

 delle tfj . 



Se poi le v sono geodetiche, le conclusioni rimangono le stesse ; poi- 

 ché, è bensi vero che la L non é più una linea di stringimento o di al- 

 largamento delle trajettorie ortogonali, ma la condizione — = é soddi- 



sfatta medesimamente per la natura delle linee e. 



Se si osserva che le t sono, come le t l , delle trajettorie isogonali delle 

 d e che, dal fatto che L è la linea di stringimento della superficie rigata 

 luogo delle tangenti alle v lungo L, risulta che é pure la linea di stringi- 

 mento della superficie rigata 2 luogo delle tangenti alle t lungo L, si ha 

 Quando la linea, L, rispetto a un sistema di linee qualunque v, è una linea 

 di stringimento o di allargamento principale, in generale è pure una linea 

 di stringimento o di allargamento principale rispetto a qualsivoglia altro 

 sistema formato da trajettorie isogonali alle linee del primo {Se però le lì- 

 nee v sono geodetiche, si deve dai sistemi di cui é parola nel teorema pre- 

 cedente escludere quello delle trajettorie ortogonali delle \J. 



Combinando quest'ultimo teorema col precedente, si può dire quando 

 una linea L è la curva di stringimento o di allargamento di due sistemi di 

 linee isogonali, è pure una linea di stringimento o di allargamento di qual- 

 sivoglia altro sistema isogonale ; e rispetto a tutti questi sistemi è una linea 

 di stringimento o di allargamento principale. 



Sia L una linea di stringimento o di allargamento di un sistema di 

 geodetiche v ; dovendo L, rispetto a questo sistema, essere una linea di 

 stringimento o di allargamento principale, la L è pure la linea di stringi- 

 mento della superficie rigata 2 luogo delle tangenti alle v lungo L e quindi 

 sarà pure linea di stringimento della superficie rigata 2 X che si ottiene fa- 

 cendo ruotare le generatrici di 2 attorno ai punti di L e nei piani tan- 



