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e> = cost. ammettono la curva L per linea eli stringimento o di allarga- 

 mento (n.° 1). 



Dunque in tutti i punti di una linea di stringimento o di allargamento 

 di un sistema di linee v = cost. descritte sopra una superficie qualunque, e 

 in generale nei soli punti di una tale linea, ha luogo la relazione caratte- 

 ristica (10). 



La linea L sia una curva di stringimento o di allargamento (principale) 

 di due sistemi di linee isogonali v e v l ; lungo tale linea L, oltre la (10), 

 deve essere soddisfatta l'altra relazione: 



1 di. 1 



R^—dt + l^™» 1 » 



m cui i x é l'inclinazione delle v l sulla L e R lV il raggio di curvatura geo- 

 tica delle v l . 



Essendo di = di 1 le precedenti danno: 



cos i __ cos z, 



Dunque se lungo una linea di stringimento o di allargamento principale 

 di un sistema di linee v queste hanno curvatura geodetica nulla, le linee \ l 

 di qualsivoglia altro sistema isogonale hanno pure, lungo la medesima li- 

 nea, curvatura geodetica nulla. 



Se quindi consideriamo un sistema di geodetiche v e una loro linea di 

 stringimento o di allargamento (necessariamente principale) potremo ap- 

 plicare il teorema precedente e dire sopra una superficie qualunque le tra- 

 jettorie isogonali di un sistema di geodetiche hanno comuni con queste le 

 linee di stringimento e di allargamento ; e lungo tali linee esse pure hanno 

 curvatura geodetica nulla. 



Se supponiamo che le v siano geodetiche, —- = e quindi la (1) diviene: 



Jrtv 



1 di ., , ,. ds 



R = -Ts> d ° nde: dl = —R- 



Perciò i sistemi di geodetiche che sopra una superficie qualunque S am- 

 mettono una determinata, curva L per linea di stringimento o di allarga- 

 mento sono formati dalle geodetiche della superficie che segano L sotto un 

 angolo il cui differenziale è eguale all'angolo di contingenza geodetica di L. 



Questo teorema fa vedere che una linea qualunque di una superficie 



