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VI. 



Per un teorema di Bonnet è noto che se sopra una superfìcie rigata 

 una linea possiede due delle tre seguenti proprietà: 1.° di essere geode- 

 tica ; 2.° di segare le generatrici sotto un angolo costante ; 3.° di essere 

 la linea di stringimento,, possiede pure la rimanente. 



Ora dimostreremo altri due teoremi analoghi pel caso che la linea con- 

 siderata sulla superfìcie rigata sia un'assintotica, ovvero una linea di cur- 

 vatura, dopo di che estenderemo questi tre teoremi alle superficie qualun- 

 que. Siano A, B, C gli angoli che le generatrici rettilinee di una superficie 

 rigata 2 formano colla tangente, colla normale principale e colla binor- 

 male di una linea L descritta sopra 2 ; la condizione necessaria e suffi- 

 ciente perchè L sia la linea di stringimento è : (*) 



dcosA cosB 



(11) ~ds p~~ ' 



essendo s l'arco e p il raggio di curvatura di L. 



Se poi indichiamo con l'angolo sotto il quale i piani osculatori di L 

 segano la superficie 2, si ha : (*) 



a cos B 



cosa == 7 ; 



sen^4 



ne viene di conseguenza che la condizione necessaria e sufficiente perchè 

 la linea L sia un' assintotica della superficie è : 



(12) sen^4 = cosi?. 



Siccome, combinando fra loro le (11), (12, si ottiene : 



(13) dA = — — , 



P 



si può dire che quando per una data linea L descritta sopra una super- 

 ficie rigata 2 sono verificate due delle tre relazioni (11), (12), (13), é pure 

 soddisfatta la rimanente. 



(*) V. § l-V della mia memoria « Sulle superficie rigate » — Giornale di Matematiche, 1887. 



