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Dunque se una linea descritta sopra una superficie rigata possiede due 

 delle tre seguenti proprietà: 1.° di essere assintotica ; 2." di segare le gene- 

 ratrici sotto un angolo il cui differenziale è uguale all' angolo di contingenza 

 della linea; 3° di essere linea di stringimento, possiede pure la rimanente. 



La condizione necessaria e sufficiente perché una linea L descritta so- 

 pra una superficie rigata 2 sia una linea di curvatura é : (*) 



(14) cosi?= senA • cos(a -4-/ — ) 

 la quale, combinata colla (11), dà: 



(15) dA — -•cos(a-\-ì-^-\, 



essendo r il raggio di torsione di L ed a una costante arbitraria. 



Siccome quando delle tre relazioni (11), (14), (15) due sono soddisfatte 

 é pure soddisfatta la rimanente, potremo dire se una linea descritta sopra 

 una superficie rigata possiede due delle tre seguenti proprietà: 1.° di essere 

 una linea di curvatura; 2." di segarle le generatrici sotto un angolo A il 

 cui differenziale è dato da' (15); 3.° di essere linea di stringimento, possiede 

 pure la rimanente. 



Sia ora S una superficie qualunque, 2 la superficie rigata luogo di un 

 sistema di tangenti alla S e L la, linea di contatto delle due superficie. Si 

 osservi che quando L è una geodetica, o un' assintotica o una linea di 

 curvatura di una delle due superficie S, 2 è pure geodetica o assintotica 

 o una linea di curvatura dell' altra ; d' altronde se sulla superficie & si 

 prende per linee coordinate v il sistema di geodetiche tangenti alle gene- 

 ratrici di 2 lungo L, per teoremi precedenti (n.° 5) si ha che quando L 

 è linea di stringimento di 2 é in generale linea di stringimento o di allar- 

 gamento del sistema di linee v ; e reciprocamente. Il teorema di Bonnet 

 e i due teoremi precedenti da noi dimostrati si possono quindi estendere 

 alle superficie qualunque nel modo seguente : 



Se una linea, L tracciata sopra una superficie qualunque S possiede due 

 delle tre seguenti proprietà : 



1° di essere una geodetica; ovvero rcn' assintotica ; ovvero una linea 

 di curvatura. 



2° di segare un sistema di geodetiche della, superficie sotto un angolo 

 costante; ovvero sotto un angolo il cui differenziale è eguale all' angolo di 



(*) Sulle superficie rigate — § IV.' 



