— 649 — 



la L sotto un angolo eostante; 3 a di essere una linea di stringimento o di 

 allargamento del sistema di tali linee v, possiede pure la rimanente. 



Supponendo in questo teorema che le linee v siano a dirittura geode- 

 tiche, si ottiene il teorema, generalizzazione di quello di Bonnet, dimo- 

 strato precedentemente. 



Se poi consideriamo la condizione (10) e le altre : 



1=0, -1 = 0, * = costante(>f), 



si trova che quando, lungo la linea L, ne sono soddisfatte tre, è pure 

 soddisfatta la rimanente. 



Dunque se sopra, una superficie qualunque si considera una linea L se- 

 yata da un sistema di linee v e si suppone che siano soddisfalle tre qua- 

 lunque delle seguenti quattro condizioni: V che L sia geodetica; 2 a che le 

 linee v abbiano curvatura geodetica nulla, lungo L; 3 a che la L seghi le v 



sotto un. angolo costante diverso da —; 4 a che la L sia una curva di strin- 

 gimento o di allargamento del sistema di linee v, è pure soddisfatta la ri- 

 manente. 



Consideriamo particolarmente il caso in cui la linea di stringimento o 

 di allargamento di un sistema di linee v é trajettoria isogonale di queste 

 e geodetica della superfìcie ; allora, per il teorema precedente, le linee v 

 hanno curvatura geodetica nulla lungo L. Ma lungo la L hanno curvatura 

 geodetica nulla le traiettorie ortogonali delle v (n.° 1), quindi la I é, ri- 

 spetto al sistema di curve v, una linea eli stringimento o di allargamento 

 principale. Dunque quando una geodetica di una superficie è linea di strin- 

 gimento o di allargamento di un sistema di linee v di cui essa, è trajettoria 

 isogonale, rispetto a questo sistema essa è una, linea, di stringimento o dì 

 allargamento principale. 



Parma, novembre 1890. 



-^t^igfe 1 ^ 



Seri* v — Tmr ; - 8 - 



