— 69 — 



In ultimo notiamo che 1' angolo d, più sopra definito, misura l' inclinazione del 

 piano oscul atore alla linea A nel punto M col piano tangente alla superficie nello 



stesso punto ; e che per conseguenza è l' espressione della curvatura geode- 

 tica della linea A in quel punto. 



Ciò premesso , osserviamo che dal triangolo MCG rettangolo in C si ha 



MC p 



MG ■==. = " . Laonde possiamo dire che il segmento MG rappresenta 



cos CMG cos v 



il raggio della curvatura geodetica della linea A nel punto M 1 raggio che chia- 

 meremo P. Se poi chiamiamo S V arco della stessa linea contato da un' origine 

 arbitraria e terminato in M, e con dS denotiamo il suo differenziale (ossia la lun- 



ghezza dell' elemento MM' assunto come infinitesimo del 1° ordine) allora ^- varrà 



1' angolo di contingenza geodetica, che indicheremo con Q,. Inoltre sappiamo che 

 il settore curvilineo ed infinitesimale MGM' si può considerare come settore circolare 

 contenuto da un arco che ha il centro in G ed è tangente in M alla linea A, e dai 



dS 



due raggi GM e GM' . Pertanto il rapporto ^- è eziandio misura dell' angolo MGM' , 



il quale perciò sarà di qui innanzi da noi considerato come eguale all' angolo Q 

 di contingenza geodetica. 



Come il segmento MG rappresenta il raggio P di curvatura geodetica della 

 linea A nel punto M, così il segmento M ' G ' rappresenta il raggio P -+- c/P della 

 curvatura geodetica della stessa linea nel punto M' . Osservo inoltre che l' angolo 

 CM'C (trascurando gli infinitesimi d'ordine superiore al 1°) è eguale all'angolo 

 della torsione ordinaria della linea A nel punto M, angolo che diremo (p ; come 

 pure osservo che 1' angolo C'M'G' misura l' inclinazione del piano osculatore alla A 

 nel punto M ' col piano tangente alla superficie proposta nello stesso punto ; e 

 però potremo indicarlo con -+- dd. In ultimo considero che i 2 triangoli rettan- 

 goli MCG ed MCG sono eguali, poiché MC = M'C=p, ed MG = MG = V: 

 laonde avremo /\ CM'Gz=d. 



Ciò posto, possiamo calcolare il valore dell' angolo infinitesimale GM'G' : il 

 quale, trascurando gli infinitesimi d' ordine superiore al 1°, eguaglia (*) quello che 



(*) I geometri moderni, seguendo il Bonnet, intendono per torsione geodetica di una curva trac- 

 ciata sopra una superficie in un suo punto M il quoziente che si ottiene dividendo 1' angolo che 

 la normale esterna alla superficie nel punto M' di quella curva infinitamente vicino ad M fa 

 col piano che contiene la normale esterna alla superficie in M e 1' elemento MM', per la lun- 

 ghezza di questo stesso elemento. Tale angolo è misurato da quello che la normale in M ' fa 

 colla sua proiezione ortogonale sul detto piano. Io lo chiamerò angolo della torsione geodetica 

 che la curva proposta ha nel suo punto M. 



Ciò premesso, osservo che nel caso che qui si considera d' una traiettoria ortogonale A delle 

 generatrici d'una superficie rigata, il piano CM'G' (V. Fig. l a ) normale alla A nel punto M' si 



