— 71 — 



Poiché si ha X = 6 -+- 90°, nella relazione (1) possiamo al dd sostituire anche 

 il dA, ed avremo 



$ = (p -+- d.l. 



Ciò premesso, e prima di passare alla ricerca delle proprietà generali delle tra- 

 iettorie ortogonali delle generatrici della superficie rigata proposta, dedurrò alcune 

 formule differenziali relative alla linea GG' luogo geometrico dei punti d'in- 

 tersezione di quelle generatrici cogli assi dei circoli osculatori della linea A traiet- 

 toria ortogonale delle medesime. A tal' uopo osserviamo che al triangolo M' GG' si 

 possono applicare quelle stesse considerazioni che dagli autori si sogliono fare rela- 

 tivamente ai settori delle curve piane riferite a coordinate polari. Pertanto rite- 

 niamo il punto M' come polo, ed i segmenti M'G = P, ed M G' = P -i- dV 

 come raggi vettori consecutivi fra loro inclinati dell' angolo $, e che terminano 

 all' estremità dell' elemento lineare GG' della linea suddetta. Laonde denotando 

 con a 1' arco di questa linea corrispondente all' arco S della traiettoria A, e quindi 

 terminato nel punto G, potremo rappresentare con da l' elemento GG ' in questione, 

 e calcolarne il valore per mezzo della nota formula che dà il differenziale dell' arco 

 delle curve piane in coordinate polari. Pertanto si avrà 



da s = V s <$>* -+- dP* ; 



formula che comprende come caso particolare quella del Moline relativa alle linee 

 dei centri di curvatura delle curve gobbe. 



Cerchiamo ora di determinare l'angolo M'G'G che l'elemento GG' fa colla 

 generatrice M'G' che passa per 1' estremità G' del medesimo, angolo che diremo y. 

 A. quest' uopo applichiamo la formula che per le curve piane riferite a coordinate 

 polari somministra la tangente trigonometrica dell' angolo che la toccante alla curva 

 fa col raggio vettore che va al punto di contatto ; e ciò considerando 1' angolo $ 

 come differenziale dell' ascissa angolare, come abbiam fatto più sopra. Per tal 

 modo si ottiene immediatamente 



P$ 



tang 7 = _ . 



Per altra parte considerando il triangolo M' GG' se ne ricava 



sen 7 : sen $ : : M'G : GG' ; 

 e quindi 



P sen $ 



sen y = — ; 



da 



