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generatrice a generatrice, mentre la distanza a rimane costante. Le relazioni (3) 

 non differiscono da quelle ricavate dall' 0. Bonnet (**) con metodo differente da 

 quello ora esposto. 



Nel caso in cui le 2 linee A ed A t avessero per normali principali comuni 

 le generatrici della superficie rigata proposta, allora P ed R si ridurrebbero rispet- 

 tivamente ai raggi di curvatura e di torsione ordinaria; e come fu dal Serret e 

 da altri dimostrato, l' angolo /? avrebbe lo stesso valore per tutti i punti corri- 

 spondenti di quelle linee. Per tal guisa la relazione (3) si ridurrebbe a quella che 

 fu per altra via trovata dal Bertrand nel tomo 15° del Giornale del Liouville. 



Intanto se eguagliamo fra loro i valori (1) e (1)^ di sen /? si ottiene 



dS_ t 



db' 





Così pure eguagliando i valori (2) e (2) J di cos /? si ottiene 



d£, _ Q (P — a) 



dS~a i (P, -+- a) 



Elevando ora al quadrato i 2 membri delle equazioni (1) e (2), e poscia som- 

 mando membro a membro si ricava 





'$* (P_ a )*Q« 



d8* 



dS* 



Ponendo nelle 3 relazioni ora trovate 





a 



dS 

 ~~ P ' 



« - dS 



1 P/ 



*,- = 



esse diventano 







dS t s __ R t 

 dS s R 





\ 









dS/ _ P i 



dS s = F 



P —a 

 P, -4- a 



\ 









dS* _ a s 



dS s ~ W 



, (P-«) S 

 P s 



\ 



dSj 



(4) 



(") Mémoire sur la théorie generale des surfaces — Journal de 1' École Polytkecnique. 32 

 cahjer N.° 45. 



