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Osservazione — Nel caso in cui la superficie proposta sia quella delle normali 

 principali supposte comuni alle 2 traiettorie, si ha il teorema dello Schell (*), il 

 quale teorema è perciò un caso particolare di quello testé dimostrato. 



La relazione (7) lega 1' angolo /? coi raggi di torsione geodetica delle 2 traiet- 

 torie. Analogamente possiamo dedurre una relazione che leghi quell' angolo coi 

 raggi di curvatura geodetica delle traiettorie stesse. Difatti dalla (2) si ha 



: e quindi 



dS 1 



= 



a 



p- 



cos 



- a 

 '0 



dS t 





p 



— 



a 



dS P cos 



Questa relazione si applica pure al caso in cui le 2 traiettorie sieno infinita- 

 mente vicine, sicché a si possa surrogare con da, sia cioè un infinitesimo del 1° 

 ordine al pari del dS e del dS t . Trascurando allora gli infinitesimi d' ordine su- 

 periore al 1*, e quindi ponendo 1 a luogo di cos jì V ultima relazione trovata diventa 



dS t _ _ P — da 



dS~P ' 



e quest' ultima coincide con quella dimostrata con altro metodo dal Bonnet nel 

 N.° 28 della citata sua Memoria. 



Operando ora sulla (2) { in modo analogo a quello che abbiain fatto sulla (2), 

 si ricaverebbe 



dS _ P, -+- a 



dS £ V { cos 



Moltiplicando membro a membro quest' equazione per l' altra — -± = , 



dS P cos p 



trovata poc' anzi, si ottiene 



PP 



sec~° £ = -^ ^A± . (8) 



(P - «)(P, -+- a) 



Ora il 2° membro di questa relazione esprime il rapporto anarmonico (MG M t G^). 



Se pertanto le 2 traiettorie A ed A t sono tali da avere in tutti i punti che 



in esse si corrispondono la stessa inclinazione 0, allora quel rapporto anarmonico 



(*) Vedi Allgemeine Theorie der Curven doppelter kriiinniung in rein geometrischer Darstelleng 

 (Leipzig 1859 — pag. 76). 



