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Inclinazione e distanza di 2 generatrici infinitamente vicine — 



Posizione del punto centrale. 



Consideriamo una traiettoria ortogonale qualunque A delle generatrici d' una 

 superficie gobba : sieno ilf, M 1 (V. Fig. 3 a ) due punti qualunque, ma successivi ed 

 infinitamente 1' un all' altro vicini della curva stessa : sieno poi MH ed M'H 1 le 

 generatrici che passano per quei punti, e che in generale non giacciono nello stesso 

 piano. — In questo paragrafo mi propongo di calcolare l' angolo che queste generatrici 

 formano fra loro, la minima loro distanza ed infine la posizione di quel punto 

 speciale, nel quale la prima di quelle generatrici è incontrata dalla comune per- 

 pendicolare che misura quella distanza; punto che fu dai geometri appellato punto 

 centrale di quella generatrice. — Nel dedurre le formule che risolvono questi pro- 

 blemi procederò con metodo affatto analogo a quello che gli autori sogliono ado- 

 perare, allorché vogliono risolvere gli analoghi problemi relativi ad una superficie 

 gobba le cui generatrici sono le normali principali d' una curva a doppia curva- 

 tura. La differenza nei procedimenti si riduce a ciò solo, che alla considerazione 

 della linea de' centri di curvatura della traiettoria A ho surrogato la considerazione 

 della linea d' intersezione della sua superficie polare colla superficie gobba su cui 

 quella traiettoria è posta. 



Pertanto sia G il punto di quella linea situato sulla generatrice MH, corrispon- 

 dente cioè al punto M della traiettoria A. Si unisca il punto G col punto M', e 

 per questo si conduca la retta M*h parallela alla generatrice MH. Allora potremo 

 considerare l' angolo triedro avente per vertice il punto M 1 , e per spigoli le 3 

 rette M*G, M i 3 i , M 1 h : in esso la faccia GM 1 ^ è perpendicolare alla faccia 

 GM'h; inoltre l'angolo GM*k è eguale all'angolo MGM 1 , che è l'angolo O di 

 contingenza geodetica della linea A nel punto M. 



L' angolo GM 1 H t poi è eguale all' angolo $ della torsione geodetica di questa 

 stessa linea relativo allo stesso punto M. Infine l' angolo H'M'h è 1' angolo delle 

 2 generatrici infinitamente vicine MH ed M l H 1 , angolo che chiameremo X Y, e che 

 assumeremo come positivo, ovvero come negativo secondochè la M 1 ^ giace o nò 

 dalla parte del piano GMM 1 nella quale giace la normale esterna alla superficie 

 nel punto M. — Ciò posto, volendo trovare il valore di quest' angolo, si intenda 

 descritta una superficie sferica di raggio eguale all' unità e col centro in M 1 ; così 

 otterremo il triangolo sferico ILN rettangolo in 7, e corrispondente al suddetto 

 angolo triedro. I tre lati di questo triangolo sendo infinitesimali, desso puossi con- 

 siderare come rettilineo ; epperò si avrà LN S = IL* -+- ZZV*, ossia 



?' = ìl s + $ 8 



TOMO I. 



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