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Proposizione — La curvatura d' una superficie gobba in un suo punto qua- 

 lunque M vale la curvatura che la superficie stessa ha nel punto centrale della 

 generatrice passante per M moltiplicata pel quadrato del coseno dell' angolo che il 

 piano centrale relativo a questa generatrice fa col piano tangente in M. 



Da questo teorema consegue che la curvatura ha il valor massimo nel punto 

 centrale, mentre pel punto all'infinito d' una generatrice (nel quale il piano tan- 

 gente alla superficie non è altro che il piano direttore) la curvatura sarebbe nulla. 



a. 



Applicazioni diverse. 



Passiamo ora alle applicazioni che si possono fare delle proposizioni e delle 

 formole dimostrate nei paragrafi precedenti. 



Cominceremo dal supporre che sulla superficie rigata proposta si possa trac- 

 ciare una traiettoria ortogonale B delle generatrici, la quale sia in pari tempo 

 lima geodetica della superficie stessa. Dico che in tal caso la B è la linea di strin- 

 gimento della superficie, e che perciò le generatrici di questa sono le binormali di 

 quella. Difatti confrontando la B con un' altra traiettoria ortogonale A distante 

 della quantità a, e chiamando R il raggio della torsione geodetica della B. la re- 

 lazione (3)' (V. 2° paragrafo) 



a a '. a 

 p--cot/?=l 



in questo caso somministra 



tang /? = — | ; 



poiché trattandosi di linea geodetica la curvatura geodetica — è nulla. 



Se ora paragoniamo questa equazione colla (19), risulta che la linea proposta B 

 passa pel punto centrale di qualunque generatrice ; epperciò dessa è pure linea 

 di stringimento della superficie. È pur chiaro che 1' angolo <I* della torsione geode- 

 tica è eguale all' angolo <fi della torsione ordinaria, poiché per essere costantemente 

 1' angolo (Vedi paragrafo 1°) di 90° si ha dd = 0. 



Possiamo pure dimostrare facilmente la proposizione inversa, vale a dire che 

 se la linea di stringimento d' una superficie gobba è traiettoria ortogonale delle 



