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 generatrici di questa, dessa è in pari tempo linea geodetica. Difatti abbiamo veduto 



nel paragrafo precedente che la curvatura geodetica — della traiettoria ortogo- 



naie che passa per il punto centrale d' una generatrice qualunque è nulla. Laonde 



per tutti i punti della linea proposta si avrebbe — = 0, e quindi dessa è linea 



"o 

 geodetica della superficie (*). 



Da ciò che precede risulta eziandio che nella superficie generata dalle binor- 



mali d' una curva gobba, all' infuori di questa, nessun' altra traiettoria ortogonale 



può essere geodetica, né alcun' altra linea geodetica può essere traiettoria ortogonale. 



Altre applicazioni 



Supponiamo che si tratti d' una superficie generata dalle binormali d' una linea 

 gobba A di torsione costante : allora dicendo R il raggio di torsione (geodetica 

 od ordinaria) della stessa linea, la curvatura della superficie in un punto qualunque 



r> 



d' una traiettoria ortogonale A distante di a dalla A sarà — — ? ; epper- 



R ~ -+- a 



ciò sarà costante per tutti i punti di quella traiettoria. E la stessa cosa deve dirsi 



della torsione geodetica e della curvatura geodetica di questa traiettoria, le quali 



si mantengono costanti nei diversi suoi punti, come si vede chiaro dai loro valori 



dati dalle formule (16) e (17). Infine anche l'inclinazione /? delle Linee A ed A 



nei punti corrispondenti posti sulle singole generatrici è la stessa, poiché si ha 



tang /? = °- . E ciò che qui si dice della traiettoria A deve per le stesse 



ragioni estendersi a qualunque traiettoria ortogonale. Se pertanto si considerano 2 

 traiettorie ortogonali A ed A t , la loro inclinazione /? nei punti corrispondenti sarà 

 sempre la stessa. Potremo quindi applicare 1' osservazione fatta nel paragrafo 2° 

 circa la formula (8), il cui 2° membro esprime il rapporto anarmonico dei 4 punti 

 in cui una qualsivoglia generatrice è tagliata dalle 2 traiettorie A ed A dl e dalle 

 linee d' intersezione della superficie colle superficie polari delle traiettorie stesse. 

 Laonde possiamo stabilire il seguente 



Teorema — « Se si considerano due traiettorie ortogonali qualunque delle bi- 

 « normali d' una curva gobba di torsione costante, e le linee luogo geometrico 

 « dei punti d' intersezione di queste binormali cogli assi dei circoli osculatori di 

 « quelle traiettorie, il rapporto anarmonico dei 4 punti in cui le singole binor- 

 « mali tagliano le 4 linee non varia ». 



(') Le 2 proposizioni ora vedute sono state con altro metodo dimostrate dal Bonnet per le tra- 

 iettorie qualunque nel N. 57 della più volte citata sua Memoria. 



