— 93 — 

 Corollario — Se una delle traiettorie ortogonali è la stessa curva di torsione — 



costante, e 1' altra traiettoria ortogonale ne dista d' una quantità a = ± r , allora 

 l'angolo /9 della loro inclinazione nei punti corrispondenti sarà di zt 45°, ed i 

 4 punti indicati nel teorema, presi in ordine conveniente, formano un gruppo ar- 

 monico. 



Flessione delle superficie gobbe. 

 Abbiala trovate le relazioni 



(16) P = a ° +i( « , B = a ° — ° , (17) 



a R 



le quali danno la curvatura geodetica e la torsione geodetica in un punto M di 

 una traiettoria ortogonale A per mezzo della torsione geodetica della traiettoria 

 ortogonale che passa pel punto centrale della generatrice MH e della distanza a 

 delle 2 traiettorie. Supponiamo ora che la traiettoria A mediante opportuna tra- 

 sformazione della superficie gobba su cui giace, che supponiamo flessibile ed in- 

 estensibile, sia ridotta ad avere per normali principali le generatrici della superficie 

 trasformata (*). Allora il raggio P della curvatura geodetica si riduce al raggio p della 

 curvatura ordinaria; e così parimenti il raggio R della torsione geodetica si riduce 

 al raggio r della torsione ordinaria. Inoltre è chiaro che nella trasformazione sud- 

 detta a non deve cangiare, come neppure R ; poiché — — misura la curva- 

 lo 

 tura della superficie nel punto centrale 0, la quale curvatura si sa che conserva 



lo stesso valore in quella trasformazione. Laonde le relazioni (16) e (17) per la 

 trasformata della traiettoria A diventano 



ri s _I_ 7? s 



/>==- * ^ ° (16)' 



a o 



ri s _±_ 7? * 



r — . a o ~*~ n o n^y 



R o 



Ciò premesso, supponiamo che la distanza a riesca costante per tutte le gene- 

 ratrici : ciò significherà che il luogo geometrico de' punti centrali, ossia la linea 

 di stringimento della superficie trasformata è essa stessa traiettoria ortogonale delle 



(') Tale trasformazione è sempre possibile — ■ Vedi Bour. Journal de 1' École Polythécnique. 

 Cahier 39°, teorema V, pag. 52 — Vedi pure Beltrami. Annali di Matematica del Tortolini. Tomo 7° 

 pag. 112. 



