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generatrici di questa. Ed abbiamo veduto come in tal caso questa traiettoria è 

 linea geodetica della superficie, e quelle generatrici non sono altro che le binor- 



mali di questa linea, della quale — è pure la torsione ordinaria. — Se poi, oltre 



R o 

 a ciò, supponiamo ancora che R abbia lo stesso valore per tutte le generatrici, 



in tal caso la superficie è formata dalle binormali d' una curva di torsione costante ; 

 e dalle relazioni (16)* e (17) f risulta che dopo la trasformazione, di cui abbiamo 

 parlato più sopra, i raggi p ed r della curvatura e della torsione della trasformata 

 della traiettoria A conservano il medesimo rispettivo valore per tutti i punti della 

 trasformata stessa. — ■ Ed è chiaro come lo stesso ragionamento si possa fare ri- 

 guardo alla trasformata di qualunque altra traiettoria ortogonale. Pertanto nel caso 

 attuale tutte le traiettorie ortogonali, compresa la linea di stringimento della su- 

 perficie, per effetto della flessione subita da questa si trasformano in eliche avvolte 

 a cilindri di rivoluzione. E dalle espressioni di p e di r scritte più sopra si vede 

 pure che queste eliche hanno lo stesso passo, e quei cilindri lo stesso asse. 



Laonde possiamo conchiudere che la trasformata della superficie generata dalle 

 binormali d' una curva gobba di torsione costante è un' elicoide sghembo a piano 

 direttore e a direttrice rettilinea. — Da ciò che si è detto possiamo pure dedurre 

 che una superficie generata dalle binormali d' una curva gobba di torsione costante 

 non può contenere alcuna traiettoria ortogonale di queste, la quale sia pure linea 

 assintotica (*) ; vale a dire non si può tracciare su quella superficie alcuna curva 

 che abbia per normali principali le generatrici della superficie stessa ; poiché altri- 

 menti, in virtù della dimostrazione precedente, vi sarebbero un' infinità di curve 

 godenti di questa proprietà, e la superficie sarebbe addirittura 1' elicoide suddetto, 

 anziché una superficie applicabile sul medesimo. 



Superficie sviluppabili. 



Passiamo ora a dimostrare alcune proprietà delle superficie sviluppabili. Colla 

 scorta delle relazioni stabilite nel 2° e 3° paragrafo si può anzitutto dimostrare il 

 seguente 



Teorema « Ogni superficie rigata avente per linea di curvatura una traiettoria 

 « ortogonale A delle sue generatrici è necessariamente una superficie sviluppabile > . 

 Difatti la relazione (10)* del 3° paragrafo 



d = dS . = dS 



|/P* -+- R s 



P 



E 



l/'-F 



C) Vedi Dini — Giornale del Battaglini. Volume IV pag. 301 e 302. 



