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 vatura di queste superficie ; ma hanno pure la medesima superficie polare, e non 

 sono altro che le sviluppanti dello spigolo di regresso G G 1 G 11 G lli della su- 

 perficie proposta. 



Sarebbe pur vera la proposizione reciproca, che cioè « Se una superficie rigata 

 « è sviluppabile, qualunque traiettoria ortogonale delle sue generatrici è eziandio 

 « una sua linea di curvatura » . 



Questa proposizione è corollario d' un teorema dimostrato dal Lancret (**). Ma 

 noi lo possiamo dimostrare osservando che nella fatta ipotesi 1' angolo y V di 2 

 generatrici infinitamente vicme è eguale all' angolo Q di contingenza geodetica 

 della traiettoria ortogonale proposta nel punto in cui è tagliata dalla l a di quelle 

 generatrici. Laonde la relazione "*$?* = Q. s -+- $* somministra $ = 0; il che appunto 

 dimostra che quella traiettoria ortogonale è pure linea di curvatura. — Alla stessa 

 conclusione si perviene osservando che della formula (10) del 3° paragrafo 



R V 



il 1 ° membro nel caso nostro è nullo ; e poiché dS non può essere nullo e "f 



non può essere infinito, dovrà essere — = : il che dimostra appunto la pro- 



R 



posizione. 



Osservazione — Nelle dimostrazioni precedenti relative alle superfici svilup- 

 pabili implicitamente abbiam supposto che la traiettoria proposta non sia in pari 

 tempo linea di curvatura e linea geodetica. Che se ciò fosse, allora la 3 a delle 

 relazioni (4) del 2° paragrafo darebbe 



J q t 



pi, = 1 : d' onde dS. = ± dS . 



dS s ' ; 



La formula (3)" poi darebbe sen /? = 



Pertanto in questo caso gli elementi corrispondenti di 2 traiettorie ortogonali 

 non solo sono eguali, ma sono anche paralleli. Ora questi 2 caratteri non si veri- 

 ficano insieme che per le traiettorie ortogonali delle superficie cilindriche. Laonde 

 possiamo conchiudere che se una qualunque traiettoria ortogonale delle generatrici 

 d' una superficie rigata è in pari tempo linea geodetica e linea di curvatura di 

 questa, la superficie sarà cilindrica; e quella traiettoria, come pure tutte le altre 

 traiettorie ortogonali, non sono altro che le sezioni rette della medesima. 



(*") Rapport sur les progrés de la geometrie par Chasles — pag. 11. 



