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Dim. — Siano A, B, C, D i vertici di (Q), ed A', B' , C, 2)' ordinatamente 

 i vertici di (Q 1 ) che si debbono dedurre da quelli di (Q) con projezioni e sezioni, 

 e siano inoltre i quadrangoli (Q) e (Q' ) giacenti rispettivamente nei piani ti, e Tt . 

 Prolunghiamo i lati AB, e CD ad incontrarsi in E, e così A' B' , e CD' ad in- 

 contrarsi in E' ; e sopra un piano a, passante per E' , projettiamo A, B, C, D 

 da un punto arbitrario di EE' , otterremo, per projezioni, rispettivamente, i 

 punti A t , B n C n D t , e le A t B x , e C\D 1 concorreranno in E'. Le A t A, e B t B' 

 si taglieranno così in un punto O r Ora da 1 , e sopra un piano a' passante per 

 A'B', projettiamo i punti A t , B { , C t , D { otterremo i punti A, B' , C s , D s ri- 

 spettivamente; e le AB', e C a D concorrono in E', onde le C'C' S , e D'D si 

 taglieranno in un punto O s . 



Da O s e sopra il piano ti' projettiamo i punti A'B'C 9 D S otterremo rispetti- 

 vamente per projezioni i punti AB' CD' come si voleva. 



Se poi (Q) e (Q') giacessero in uno stesso piano o, basterebbe projettare uno 

 di essi da un punto fuori di o, e tagliare con un nuovo piano o i ; e si sarebbe 

 con ciò ricondotti al caso precedente. 



Essendo, infine, a, b, e, d, i lati del quadrilatero (q) che debbono condurre 

 con projezioni e sezioni ordinatamente ai lati a , b' , e , d' , di (q'), avremo ottenuto 

 lo scopo, quando con projezioni e sezioni si passi dai quattro punti oc, ad, bc, bd 

 ordinatamente, ai quattro punti de, ad', Ve', bd'. 



Il teorema è dunque completamente dimostrato. 



Questo stesso teorema si può dimostrare in base al seguente 



Lemma — Dato in un piano a un punto 0, due punti A, ed A allineati con 

 ed una retta s di punti S, si può, con un numero finito di operazioni, passare, dagli 

 elementi 0, A, 8, rispettivamente agli elementi, 0, A, S, e con quelle operazioni si 

 passerà da ogni altro punto M di a. considerato appartenente al sistema 0, 'A, S, ad 

 un punto M' di a, appartenente al sistema 0, A, S; essendo M ed M' allineati con 0. 



Dim. — Infatti da un punto 0' fuori di a, e sopra un piano o passante 

 per s, projettiamo il sistema 0, A, S, otterremo rispettivamente i punti (projezioni) 

 Ì , A n S. Le rette AA t , ed 00 t si segano in un punto 0" . Projettando ora 

 da 0' il sistema di punti 0, A, S ed M del piano a, tagliando con a , e projet- 

 tando poscia da 0" , si ottiene il sistema di punti 0, A, 8, M' , in modo che M 

 ed M' sono, come A ed A, allineati con : il lemma è così dimostrato. 



3. Si può osservare che si passa anche, colle operazioni indicate, da una retta 

 m del primo sistema ad una retta m di o appartenente al 2° sistema, per modo 

 che le rette m ed m si segano in un punto di s. Inoltre variando comunque il 

 punto 0' ed il piano o' , dal punto M si passa sempre, con le analoghe opera- 

 zioni, al medesimo punto M' ; poiché M' è l'intersezione della retta OM, con 

 quella che unisce il punto A col punto ove AM sega la retta s. 



Ogni punto M del piano o determina così un punto M' dello stesso piano, 

 con una legge costante di costruzione ; e viceversa : M ' determina in modo ana- 



