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 logo il punto M; e lo stesso dicasi per ogni retta m di a. Abbiamo posta, in altre 

 parole, una particolare corrispondenza fra gli elementi del piano a, essendo corri- 

 spondenti due elementi che come M ed M ', oppure m ed m , si determinano reci- 

 procamente con costruzioni regolate da una legge costante. 



4. Il lemma ora dimostrato ci porge il principio dell' Omologia delle figure in 

 un piano co. è il centro ed s è 1' asse dell' omologia. Conducendo da 0' ' un 

 piano a'' parallelo ad a, e progettando da 0' , e sul piano stesso a, l'intersezione 

 di a" con a' ; si otterrà la retta limite r appartenente alla figura dei punti M. 

 E similmente projettando da 0' con un piano o" parallelo ad a ; e da 0' pro- 

 iettando la retta a" 'a sul piano a otteniamo 1' altra retta limite q . 



Le due rette r, e q sono parallele fra loro, perchè parallele ad s. La loro 

 costruzione si può fare indipendentemente dal centro 0' di projezione e dal piano o 

 di sezione ; infatti per avere p. es. un punto B di r, basta condurre da una 

 parallela alla retta MA', e dove questa sega la retta AM si ha un punto R di r. 

 Ponendo in questo modo 1' omologia piana, si possono con essa dimostrare quei 

 teoremi sui triangoli, e così sui quadrangoli, e quadrilateri, che danno, la definizione 

 delle forme armoniche, quindi ricavare la teoria delle forme fondamentali di l a specie, 

 projettive, e la teoria delle coniche. In una parola si può, a mio parere, colla po- 

 sizione di tal lemma, fondare un metodo puramente geometrico e rigoroso, per le 

 teorie preliminari dell' ordinaria Geometria projettiva. — Permesse queste brevi 

 disgressioni, ritorniamo alla dimostrazione del teorema del N. 2, in base al lemma 

 ora posto. 



5. Supponiamo dapprima che i quadrangoli considerati (Q) e (Q') siano in 

 uno stesso piano o. Le rette A A' , e BB' si segano in un punto 0, e le AB, ed 

 A' B' in un punto S ; per S e nel piano a conduciamo una retta s, e col centro 

 di omologia, coli' asse s, e colla coppia AA' di punti corrispondenti, costruiamo la 

 figura omologica di (Q). 



Otterremo un nuovo quadrangolo, di cui A', B' ', C sì D s sono i vertici. Indi 

 colla coppia di punti corrispondenti C C , con un centro t di omologia sulla 

 retta C'C S , e coli' asse AB', passeremo dai punti A', B' , C a , D s , ai punti 

 A', B', C, D 3 . 



Ora la retta A'D 3 , sega la retta CD' in un punto D 4 ; quindi coli' omo- 

 logia di centro A' , di asse B'C e di cui D 3 D 4 è una coppia di punti omologhi, 

 passeremo dai punti A'B'C'D 3 rispettivamente ai punti A', B' , C, D 4 ; e final- 

 mente col centro C di omologia coli' asse A'B' , e colla coppia D 4 D' di punti 

 corrispondenti, passeremo dai punti A'B'C'D 4 ai punti A', B' , C, D' rispettiva- 

 mente; epperò saremo passati anco con un numero finito di proiezioni e sezioni 

 dai vertici A, B, C, D di (Q) rispettivamente ai vertici A'B' CD' di (Q'). Se 

 poi (Q) e (Q') fossero situati in piani differenti, basterà progettare uno di essi sul 

 piano dell' altro e saremo ricondotti al primo caso. — Il teorema enunciato, è 

 quindi anche in questo modo dimostrato. 



