— 148 — 



6. Ciò posto, riteniamo le seguenti definizioni : 



Due forme fondamentali di 2 a specie si diranno collineari, quando si deducano 

 l' una dall' altra, elemento per elemento, con un numero finito di projezioni da un centro 

 e sezioni con un piano. 



E invece chiameremo : 



Reciproche o correlative due forme fondamentali di 2 a specie, che si deducano 

 V una dall' altra, elemento per elemento, con un sistema polare rispetto ad tina Conica, 

 ed un numero finito di operazioni. 



Così due sistemi piani omologici, sono collineari. 



In due forme collineari, o reciproche le forme fondamentali di T specie, fra loro 

 corrispondenti sono proiettive. 



In generale poi si dimostra facilmente, il teorema : 



Due forme fondamentali di 2" specie, ciascuna composta di 4 elementi della stessa 

 natura (tre qualunque dei quali non appartenenti alla stessa forma fondamentale di 

 T specie) sono collineari o reciproche; e il passaggio dagli elementi delf una forma, 

 agli elementi che si vogliano corrispondenti nell' altra si può fare in infinite maniere 

 differenti; però fissate ima volta le 4 coppie di elementi che si debbono corrispotidere, 

 la corrispondenza fra gli altri elementi delle forme indefinite a cui appartengono le due 

 date, è interamente determinata; cioè, qualunque sia la trasformazione polare, ed il 

 sistema dell' operazioni usate, ogni altro elemento dell' una forma ha sempre lo stesso 

 corrispondente nell' altra. 



Con questo teorema si vengono a porre i due principi! della Collineazione od 

 Omografia e della Reciprocità, o Correlazione, delle forme fondamentali di 2" specie, 

 o in altre parole, si vengono a stabilire le trasformazioni lineari per le forme stesse. 



7. Vogliamo ora Stabilire gli stessi principii per le forme fondamentali di 3 a 

 specie, ossia pegli Spazi ordinarti, vale a dire composti di punti e di piani. — 

 A tal fine, assunto un punto fisso e un piano fisso ti, e due punti fissi A A' 

 allineati con 0, possiamo per ogni punto M fuori della retta AA' , costruire il suo 

 corrispondente nell' Omologia sul piano MAA' , avente per centro 0, per asse 

 l' intersezione di MA A' con k, ed essendo corrispondenti i punti AA' . Il punto M' 

 si dirà la prelezione del punto M nello spazio, o viceversa M la prelezione di M' ; 

 od anche il punto M' è il corrispondente di M nell' Omologia solida, di cui è il 

 centro, ti il piano ed AA' una coppia di elementi corrispondenti, che determinano 

 1' omologia stessa, o il sistema delle prelezioni sullo spazio. 



Anche qui si ha il Teorema : 



Con un numero finito di proiezioni di spazio, e in infiniti modi differenti, si 

 può passare da cinque punti A, B, G, D, E, (quattro qualunque dei quali siano i 

 vertici di un tetraedro), o da cinque piani a, /?, y, d, s, (quattro qualunque dei quali 

 siano le f accie di un tetraedro), ordinatamente ad altri cinque punti, A' , B' , C , D' , E' 

 analoghi, o ad altri cinque piani analoghi a', /?', y ' , d' , s . 



Infatti coi punti AA' , come corrispondenti, con un centro sulla retta AA', 



