— 368 — 



Quando vorremo esprimei'e che una proprietà è comune a tutte le linee rap- 

 presentate dal simbolo L„ v , diremo essere quella una proprietà della linea L n -, . 



Nella determinazione di una linea, un punto dato e multiplo secondo i equi- 

 vale a * (i-ì-1) : 2 condizioni o punti dati : la linea L n -, non può quindi, in gene- 

 rale, avere punti multipli (doppi, tripli, ecc.) oltre quelli compresi nelle equazioni (1) 

 e che servono a definirla. Può tuttavia accadere che scegliendo convenientemente 

 i p punti arbitrarii, o anche solo uno di questi quando p = 2 , la linea L n -, si 

 risolva in due o più linee, le quali colle loro intersecazioni formino punti multipli 

 non compresi nelle equazioni (1). Così, scegliendo un esempio molto semplice, 

 quattro punti dati in un piano, fra i quali non ve ne siano tre disposti in una 

 stessa linea retta, determinano una serie di coniche, ciascuna delle quali è deter- 

 minata da un punto. Se per determinare una conica della serie si sceglie un punto 

 che sia in linea retta con due dei punti dati, a luogo di una conica si ottiene 

 un sistema di due rette, e questo sistema ha un punto doppio, quello, cioè, in 

 cui s' intersecano le due rette. Riterremo dunque che quando per la scelta dei 

 punti arbitrarii una determinata curva L, tV acquista punti multipli, ciò accade 

 perchè in quel caso particolare essa si è risoluta in un sistema di linee e i punti 

 multipli che ha acquistati sono formati da scambievoli intersecazioni delle linee 

 del sistema. 



Un sistema di numeri intieri e positivi che posto a luogo delle i t , i , . . . nelle 

 equazioni (1) le soddisfaccia, costituisce una soluzione di quelle equazioni. Ogni 

 soluzione determina una particolar serie di linee L nV , e ogni linea della serie ha 

 punti multipli secondo que' certi numeri i n i ,... che formano la soluzione: ciò 

 esprimeremo dicendo che la linea L llV è una soluzione delle equazioni (1). 



I numeri % t , i s , . . . debbono essere numeri intieri e positivi ; perciò il numero 

 delle soluzioni delle equazioni (1) è sempre determinato e finito. Non sempre però 

 le linee L ny della serie determinata da una soluzione sono semplici curve : anzi, 

 generalmente parlando, fra le soluzioni delle (1) per dati valori di », v : p è sempre 

 qualche soluzione che determina una serie di linee L nW che sono ciascuna un si- 

 stema di due o più curve. Una linea che non sia un sistema di due o più curve, 

 diremo indifferentemente che è una linea semplice o che è una curva (comprendendo 

 per brevità fra le curve anche la linea retta), e se sia inoltre del genere zero, 

 diremo che è una curva razionale : diremo che è una linea complessa se sia un 

 sistema di due o più curve ; e per indicare che una linea L nV è un sistema delle 

 linee C aì C b , . . . degli ordini a, b 1 . . . qualunque poi sia per essere il genere di 

 queste linee, scriveremo 



L„ v = C a . C b . . . , a -+- b -4- . . . = n. 



Ci serviremo di questa notazione anche nei casi in cui le linee C aì C b , . . . non 

 fossero, o tutte o alcune soltanto, linee semplici. 



