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 Ogni linea L, lV è determinata da un punto, e perciò delle predette due linee 

 C mìi e G s r, dovrà una essere fissa, cioè comune a tutte le linee L lVt del fascio, 

 1' altra variabile, cioè diversa nelle diverse linee L, ri . La linea C m ^ sia fissa ed 

 abbia, nei punti base del fascio, punti multipli secondo i t ' , */,...; la C n sìa va- 

 riabile e nei punti base del fascio abbia punti multipli secondo i numeri i" ', £",...: 

 dovranno i numeri i' e /' soddisfare le seguenti equazioni : 



*" {% +1) m (m -+• 3) i' (t — 1) (m — l)(m — 2) 



2"-^ - g , 2- — = - _^ ; 



«*T+i! «(s-r-3) i r a 1 - 1) (, -i )(g -2) 



2, = 1 2i = — a : 



dalle quali si deduce, 



Ì2 i' s = m 2 -+■ 1 — (i , 2 e" = 3m — 1 -+- fx 

 ,2/^s 8 -);, 2 t ' = 3s — 2 -+- a 



e dovrà inoltre essere (n. 6) 



2 *' s ±± m* — v, ossia 2 (Y -+■ i"f = (» + s) 8 — u — a ■+- 1, 

 ed eliminando da questa per mezzo delle equazioni (6) le quantità 2 ? '* e 2i"' 

 (7) 2 H' = ms. 



Le equazioni (6) e (7) esprimono le condizioni necessarie aftinché due linee 

 (semplici o complesse) possano col loro sistema formare una soluzione delle equa- 

 zioni (5). 



Inversamente due linee C m ^, e C s ? degli ordini mese dei generi fj, e 0", do- 

 tate di punti multipli secondo i numeri i t ', i 3 ' y .. e secondo i numeri »,,'', i s " ,... 

 rispettivamente i quali soddisfanno le equazioni (6) e (7) e coi punti multipli se- 

 condo i/, ij ... della prima coincidenti ordinatamente coi punti multipli secondo 

 *y, i.," r .. della seconda, formano col loro sistema un fascio di linee complesse 

 L, lV dell' ordine n =: m -+- s e del genere v = [i ■+- a — 1 con punti multipli 

 secondo i numeri i t == i t ' -+- i t " , i = «V -4- i ",... e la linea L„ v è una soluzione 

 delle equazioni (5). Perchè dalle equazioni (6) e (7) ricavasi immediatamente 



2 t* + 2T + 22 i'i" = nr -+- s s -+- 2ms — (a -4- a — 1), 

 2 ?"-+- 2 i" == 3m -+- 3s — 2 ■+- (p 4- a — 1), 



