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 cioè 



2 i s = n s — Vi 2 ì = 3» — 2-4-27. 



8. Le linee C m[l e C s0 del (n. prec.) siano due linee semplici, ossia due curve: 

 la curva variabile G sz dovrà passare per tutti i punti base del fascio. 



Se fra i punti base del fascio fosse un punto p semplice pel quale passasse 

 la curva C mV . e non passasse la C sa , si potrebbe scegliere quel punto per deter- 

 minare quest' ultima curva, la quale verrebbe così ad intersecare nel punto p 

 la C„ !( i. Per la formula (7) le due curve C mV . e C sa hanno negli altri punti base 

 del fascio un numero ms d' intersecazioni : non potranno dunque intersecarsi di 

 nuovo in p senza ohe la curva C s3 o s' identifichi colla C mv . o si risolva in due 

 linee una delle quali sia identica colla C mll e 1' altra sia una linea C pn dell' ordine 

 p = s — m e del genere it = O — fi -+- 1 (n. 2). Nella prima di queste ipotesi 

 si avrebbe 



s = m, a = {i, fi -+- a = 2 a = v ■+• 1. 



Inoltre nei punti comuni alle linee C„ lfl e C sa nella base del fascio sarebbe i' = i" 

 e quindi per la (7) 2 i" s = s 8 , mentre per la terza delle (6) è 2 «"'* = « s — a' T 

 dovrebbe quindi essere a = 0, condizione che non può aver luogo ad un tempo 

 colla precedente 2a = v -+- 1. Nella seconda delle due ipotesi, rappresentiamo 

 con Q mV . una linea che abbia, nei punti base del fascio, punti multipli secondo i 

 numeri i^, %',.•• come l a C m \ii ad eccezione soltanto del punto p che rimanga 

 escluso. La curva (B„ l( i resta così definita dalle equazioni 



2 ì s — 1 = m s — fi, 2 i' — 1 = 3to — 2 -+- ^i, 



ed è determinata da un punto. Ciò vai quanto dire che la serie delle linee (£„ >v , 

 costituisce un fascio di linee e che la (7 m[1 è quella linea del fascio che è deter- 

 minata dal punto p. Se ora cerchiamo quale sia la linea L ny che è determinata 

 da un punto p { non situato sulla curva C mV . e avvertiamo : 1° che delle linee de- 

 finite dalle equazioni (5), ossia delle linee L nVì una sola passa pel punto p t : 2" che 

 il punto p t determina una linea del fascio di linee Q mV ,ì concluderemo che quella 

 particolar linea L nV che è determinata dal punto p è formata di tre linee semplici 

 che sono: la linea C,,,^, una determinata linea del fascio di linee Q mV , (determinata 

 dal punto p t ) e la linea C pn . La linea C pn è dunque comune a tutte le linee L n 

 e per conseguenza la linea C sa è un sistema della linea variabile (B mV . e della linea 

 fissa C pK contro 1' ipotesi. 



Se poi si volesse che il supposto punto p fosse non un punto semplice ma un 

 punto multiplo secondo un numero / > 1, si proverebbe, come precedentemente, 

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