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 Questo risultamento congiunto alla condizione / < s dimostra che se in una so- 

 luzione delle equazioni (5) ogni linea del fascio è un sistema di due o più curve, 

 una variabile e le altre fisse, tutte le curve fisse sono curve razionali e sono cia- 

 scuna d' ordine inferiore all' ordine della curva variabile. 



11. Se la soluzione L ny è una linea complessa e si rappresenta con C mv , il si- 

 stema delle curve fisse razionali (n. 10) e con C sa la curva variabile, sarà (n. 2), 

 indicando con k il numero delle curve fisse, 



(i = — i + 1, a = v -\- k. 



Il minimo valore di a si ha quando v — 0, k = 1 e quindi (A = 0, a =■ 1 ; e 

 allora il genere della curva C pK indicata nel (n. prec.) diventa n = a = 1 e 

 dovrà essere 



m ■+- p = s, n = 2m -+- p. 

 Una curva del genere 1 è almeno dell' ordine 3 : quindi sarà p > 3 e 



n — 3 



m 



< 



cioè 1' ordine di una curva razionale comune a tutte le linee di un fascio di linee 

 dell' ordine n non può in nessun caso superare il numero (n — 3) : 2. Da ciò 

 viene che non si danno fasci di linee complesse e d' ordine inferiore a 5. 



12. Ritenuto che le linee L nv del fascio sieno sistemi di k curve razionali fisse 

 e di una curva variabile, rappresentiamo con C mV , il sistema delle k curve fisse e 

 con C s s la curva variabile. Consideriamo due linee del fascio che rappresenteremo 

 distintamente con L„ v e con <£„ v , cui corrispondano le curve C sa e Q sa , cosicché 

 la linea L nV sia il sistema delle due linee C mV . e C sa , la linea J3„ v sia il sistema 

 delle due C mV . e (2 sa . 



Nel sistema L, ìV . £ nW delle due linee L )lV e i3, ìV le curve del sistema C mV . figu- 

 rano ciascuna due volte formando una linea doppia, e per questo riguardo può 

 dirsi che ognuna di esse serve ad accrescere di un numero infinito di punti la 

 base del fascio. Se nel sistema L nV . £„ v si tenga conto delle curve doppie una 

 sola volta, i suoi punti multipli saranno formati dalle intersecazioni delle curve 

 C sa e (2 sa fra loro e colle curve del sistema C mV . (n. 9). Sappiamo già che cadono 

 nei punti base del fascio le intersecazioni di ciascuna delle curve C SQ e (B sa con 

 ciascuna delle curve del sistema C„ liS . (n. 3) e inoltre che le due curve (7, a e C3 sa 

 hanno comuni, nei punti base del fascio, punti multipli secondo certi numeri «'/', 

 ig",-.. che (n. 9) soddisfano l'equazione 2 »" ! = s s — a: cadranno dunque fuori 

 della base del fascio soltanto quelle intersecazioni delle due curve C sa e (3 sa che 



