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 sarà quindi 



(q— l)»;+«;+-+»V/ = (2" l)*i -+-»,-!-••••+■ **,+, — (q— V)(m— 1) — 2m 

 = q (n — m) -+- (^ — m) = qs ■+- (q — m). 



Essendo per ipotesi q > m, V equazione ora ottenuta dimostra che una curva ra- 

 zionale C r dell' ordine q e con un punto multiplo secondo q — 1 potrebbe incon- 

 trare la linea C s . a -, nei punti base del fascio in più di qs punti; perciò quest'ul- 

 tima linea è un sistema della curva C e di un' altra linea C n dell' ordine s = s — q. 

 La linea C s . c . è definita (n. 6) dalle equazioni 



(18) 2 i" = s s -(»+ 1), 2 •" = Ss' -2 + (d+ 1). 



Si è dimostrato (n. 13) che quando una linea definita dalle equazioni (5) è un 

 sistema di una curva razionale fissa e di una linea variabile, il genere della linea 

 variabile supera di un' unità quello del sistema delle due linee e che è soddisfatta 

 la prima delle equazioni (11). Essendo le equazioni (18) della stessa forma delle 

 (5), dovrà essere 



a = & -+- 1 = v -+- 2 ; qs ~+- (q — m) = qs -t- 1 ow. q — m = 1. 



Se dunque fa parte del sistema L nV la Curva C m dell' ordine m e con un punto 

 multiplo secondo m — = 1, potrà far parte del sistema stesso un'altra curva C q 

 dell' ordine q^> m e con un punto multiplo secondo q — 1 , purché sia q = m -+- 1 ; 

 e allora la L,» potrà essere rappresentata nel seguente modo : 



(d) L,„ = C m . C m _ hl . Cm ; 2»ì-i-1 + s = «, a = v -H 2. 



Da ciò segue anche che quando una linea complessa L nWì soluzione delle equa- 

 zioni (5), comprende una curva C m dell' ordine m > 1 con un punto multiplo 

 secondo m — 1 , non può comprendere che un' altra sola curva G dell' ordine q 

 la quale abbia un punto multiplo secondo q — 1, e allora è q = m ± 1. Po- 

 trebbe però la L nV comprendere la predetta curva C m e una retta, e anche amen- 

 due le dette curve G m e C e una retta : in quest' ultimo caso indicando con m 

 il minore dei due numeri m e g, la soluzione L„ v potrebbe essere rappresentata 

 come segue : 



(è) L„v == C t . C m . G mJrl . G sa , 2 (m + l) + s= n, a = v -+- 3 : 



coli' avvertenza che la C sa non potrà comprendere nessuna curva d' ordine qual- 

 sivoglia l che abbia un punto multiplo secondo / — 1. 



