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 15. Passando ora a esaminare il caso in cui fra le curve che formano la linea 

 complessa _L /(V , soluzione delle equazioni (5), sono più curve eguali fra loro e 

 coincidenti 1' una coli' altra, cominciamo dal supporre che la linea L nV comprenda 

 h curve C mV . dell" ordine m e del genere fi con punti multipli secondo i t , i„ , . . . 

 nei punti base del fascio. Queste curve dovranno evidentemente essere fisse, cioè 

 comuni a tutte le linee del fascio e pienamente determinate dai predetti punti : 

 coincideranno quindi 1' una coli' altra e si avrà 



i! {% -hi) m (m -+- 3) *" (i' — 1) (m — l)(m — 2) 



2 2 = 2 ' 2~— = - 2 -p; 



ovvero 



2 i' s = m s -+- 1 — fi, 2 i = 3m — . 1 -+- fi. 



Rappresentiamo con C s<s il sistema di tutte le altre curve che insieme colla 

 C mìl ripetuta h volte formano la linea complessa L nV . La linea C sa dell' ordine 

 s = n — hm e del genere a = v ■+- h (1 — fi) (n. 2), abbia, nei punti base del 

 fascio, punti multipli secondo i 1 , i oy .. onde 



2 i" s = s — ■ <t , 2 {' == 3s — 2 -+- a ; 



2 t* = 2 (/«•' -h »")* = /* s 2 •" -+- 2 i" s -+- 2h 2 i'i" = rc* — 2?. 



Da queste e dalle precedenti equazioni deducesi 



(19) 2 i'i" '== ms — ^— ^ (1 — fi). 



Ci 



I numeri 2 i'i" e ms sono amendue numeri intieri e il primo non può evi- 

 dentemente superare il secondo, quindi fi non può superare 1' unità, ed è h nu- 

 mero dispari se fi = 0. 



Consideriamo la linea complessa J2& dell' ordine l = m -+- s e del genere 

 A = fi -+- G — 1 (n. 2) formata da una delle curve C m]l e dalla linea C sa e che, 

 nei punti base del fascio, ha punti multipli secondo i numeri i { ' -+- *'/' == j iì 

 i s ' -+■ i s " = _/,,,...: avrassi 



2J £ = 2 i' s -+- 2 «"* h- 2 2 .V, 2i = 2 i' -+- 2 ?" ; 



e quindi anche 



2j s = l s — X — (h — 1)(1 — p), Sy = 3; — 2 -+- A. 



