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 Queste due ultime equazioni dimostrano che non può essere (i = 1 ; poiché in 

 questa ipotesi sarebbe 



Si* = l* — X, 2 j = 31 — 2 -4- l ; 



e sarebbe la £& una linea complessa soluzione di due equazioni della forma (5), 

 formata di curve tutte diverse 1' una dall' altra e una di queste curve (la curva C rn ) 

 fissa e del genere 1. Ciò essendo assurdo (n. 10) non può ritenersi fi = 1. Pon- 

 gasi dunque /j, = 0, e 



A— 1 

 (20) 2 i'i" = ms . 



Quindi : se una soluzione L n ,, delle equazioni (5) è un sistema di curve e fra le 

 curve che lo formano sono alcune curve eguali e coincidenti 1' una coli' altra, 

 queste curve sono razionali e il loro numero è numero dispari. 



Essendo (i = 0, il genere della preindicata linea Cg, diventa a = v -4- h. Se 

 h > 1, quand'anche fosse v = 0, non potrebbe essere a < 3 e per conseguenza 

 s < 4 ; si ha pertanto un limite massimo dell' ordine m della curva razionale C m 

 nella ineguaglianza 



n — 4 

 m < . 



16. La soluzione _L KV sia una linea complessa formata dal sistema di h curve 

 eguali e coincidenti C m razionali (n. 1 5), fisse, dell' ordine m, sistema che rappre- 

 senteremo brevemente con C\ m e da una linea (semplice o complessa) C& varia- 

 bile, dell' ordine s = n — km e del genere a = v -+- h (n. 5), sia cioè 



i„ v = C h m . C sa ; hm -+- s = n, a = v ■+• h. 



La curva G m abbia, nei punti base del fascio, punti multipli secondo t/, i s ',.-- e 

 la (7 sa vi abbia punti multipli secondo ?' y ", i £ ' ',,..: onde 



ì (i -t- 1) m (m -+- 3) ì (i' — 1) {m — l)(m — 2) 



2, - — - 21 = , 



v, f' V -4- 1) s(s-f-3) r(f'-l) (s—l)(s— 2) 



2 == 1,2 = - — — - - _ a ; 



