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 Essendo per ipotesi q >• m , quest' equazione dimostra che una curva €■ dell' or- 

 dine q dotata di un punto multiplo secondo q — 1 , potrebbe incontrare la linea 

 6 S . G . nei punti base del fascio in più di qs punti ; perciò quest' ultima linea è un 

 sistema della curva C (che potrebbe anche essere ripetuta più volte) e di un' altra 

 linea variabile C sa . La linea C s - a - è definita fn. 16) dalle equazioni 



Ei ,8 = s' 8 -(i; + k), 2 i'. = 3s — 2 -+- (v -+- k). 



che sono della forma (5). Si è dimostrato (n. 16) che quando una linea definita 

 dalle equazioni (5) è un sistema di una curva razionale fissa C m ripetuta h volte 

 e di una linea variabile C s3 , il genere a della linea variabile supera di h unità 

 quello del sistema delle due linee e che è soddisfatta la pi-ima delle equazioni (22) : 

 applicando questi risultamenti al caso qui considerato, ne dedurremo immediata- 

 mente che deve essere 



a = a' -+- l, q — m — 1 = 0, ow. a = v -+- k -+- 1, q =.#&■+■ 1. 



Se dunque fa parte del sistema L nV la curva C m dell' ordine m dotata di un 

 punto multiplo secondo m — 1 e ripetuta k volte, potrà far parte del sistema stesso 

 un' altra curva G dell' ordine q > m dotata di un punto multiplo secondo q — 1 

 e ripetuta l volte, purché sia q = m -+- 1 e allora la linea L„ v si potrà rappre- 

 sentare nel modo seguente : 



(d) L,„ = C\ n . C l m+1 . C sa , (k ■+- l) m ■+- i -+- s = n, a == v -+- k --+- l. 



Da ciò segue anche che quando una linea complessa Zy„ v soluzione delle equa- 

 zioni (5) comprende una curva C m dell' ordine m > 1 dotata di un punto multi- 

 plo secondo ni — le ripetuta k volte, non può comprendere che un' altra sola 

 curva C dell' ordine q dotata di un punto multiplo secondo q — le ripetuta l 

 volte, e quando ciò accade è q = m zt 1. Potrebbe però la linea L,„ compren- 

 dere la predetta curva C m ripetuta k volte e una retta C y ripetuta h volte ; e anche 

 le dette curve C m ripetuta k volte e C ripetuta / volte e inoltre i;na retta C t 

 ripetuta h volte. In quest' ultimo caso la L nV si rappresenterebbe scrivendo 



(e) L„ v = C/' . C\ n . C' m ^. 1 . C s0 , h -+- (k -+-1) m-+-?H-s = «, a = v-t- h-^ k-+- 1: 



coli' avvertenza che la C sa non potrà essere un sistema di linee che comprenda 

 una curva d' ordine qualsivoglia p dotata di un punto multiplo secondo p — 1. 



Se si pone h = 1 , k = 1 , l = 1 , i risultamenti ottenuti in questo numero 

 diventano identici con quelli del (n. 14) e ciò conferma il principio del (n. 17). (*) 



(") Fra le curve razionali che possono concorrere a formare una linea complessa soluzione 

 delle equazioni (5), ho considerato particolarmente quelle dotate di un punto multiplo secondo un 

 numero minore di un' unità del numero che esprime 1' ordine della curva. Non mi è accaduto di 

 trovare soluzione delle predette equazioni che fosse una linea complessa e che comprendesse una 

 curva razionale d' ordine m > 1 non dotata di un punto multiplo secondo m — 1 : sarebbe forse 

 che a formare tali soluzioni non possono entrare curve razionali fisse dotate di più di un punto 

 multiplo secondo un numero i maggiore dell'unità? e che le formule (a), (&), (e), (d), (e) (n. 22) 

 rappresentassero tutte le forme possibili delle linee di fasci di linee complesse ? 



