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 23. La prima delle formule (22) si può applicare molto convenientemente a ri- 

 solvere la seguente questione. È data una soluzione 



\ l l ì *g J 1, 3 ? • • • 1 v 



delle equazioni (5) : si vuol sapere se le linee del fascio determinato dalla solu- 

 zione data sono linee semplici o linee complesse, e nel caso fossero linee complesse, 

 quali linee semplici concorrano a formarle. 



Per iscoprire se la linea L )ìV del fascio è linea semplice o linea complessa, si dovrà 

 esaminare se fra le curve razionali d'ordine m < (m — 3): 2 (n. 11) sia qualche curva 

 C m dotata di punti multipli secondo numeri i g ' , i g " , . . . che soddisfacciano la prima 

 delle equazioni (22). Si incomincerà dalla linea retta esaminando se sia i^-fr-t ^w-fr-1 ; 

 se questo caso non ha luogo, si ■ passerà alla curva del secondo ordine guardando 

 se sia i { -+- i g -+- i 3 -+- i 4 -+- i B > 2n ■+- 1 : ; se anche questa condizione non è sod- 

 disfatta, si procederà alla curva del 3.° ordine la quale dovrebbe dare 2i t •+• i s -+-... 

 -+- i 7 > 3n -+- 1 ; poi, se occorre, alle curve del 4.° ordine, le quali richiederebbero 

 fosse Bi t -t-i g --i-...-+- i 9 > 4w -+- 1 ovvero 2 {i t -+- i s -+- i 3 ) ■+■ i 4 -+- i 5 -r-i 6 ^> 4n-f-l ; ecc. 

 Se non si trova così nessuna curva che possa soddisfare 1' equazione (22), si con- 

 cluderà che la linea L nV è una linea semplice : se invece si trovasse una curva che 

 somministrasse 1' equazione 



2 ti = mn ■+- r, 



si dirà che le linee del fascio sono linee complesse e ciascuna linea L„ v è il si- 

 stema della curva C m fissa e ripetuta h = 2r — 1 volte e di un' altra linea va- 

 riabile C sa dell' ordine s e del genere a definita dalle equazioni (24); e ciò si po- 

 trà esprimere scrivendo 



L„y = C'\ n . Osa i hni ■+- s = «, a = v -+- h. 



La linea variabile C sa sarà o una curva o una linea complessa : in ogni caso però 

 adempirà le condizioni espresse dalle due ultime equazioni (21) ossia dalle 



2 i" s = s s — ( v ■+- h), 2 i" = 3s — 2 -+■ (v -+- *), 



che non differiscono dalle (5) se non perchè vi si trova j) + ^a luogo della v che è 

 nelle (5). E però se si ripeteranno sulla C sa ricerche simili a quelle fatte sulla 

 Zv nv , si arriverà a conoscere se essa è una linea semplice ovvero una linea com- 

 plessa e in quest' ultimo caso quali sono le due linee, una razionale fissa che po- 

 trebbe anche essere ripetuta più volte e 1' altra (semplice o complessa) variabile 

 e di genere determinato che la formano ; e così di seguito. 



