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 Questo modo di risolvere la questione richiede si conoscano tutte le combina- 

 zioni diverse di punti multipli che può avere una curva razionale dell' ordine 

 m <! (n — 3) : 2 ; o, in altri termini, bisogna sapere quali sono le soluzioni delle 

 equazioni. 



i' 0" -l-l) m (m -+- 3) i (i — 1) (m — l)(m — 2) 



2j ==: 2j =z . 



ovvero delle equivalenti 



2 i' s = m s -f- 1, 2 i = 3m — 1 ; 



per tutti i preaccennati valori di m. Queste due ultime equazioni sono della forma 

 (2) : si potrà dunque sempre ottenere tutte le loro soluzioni mediante le formule 

 (8) del (n. 1). 



Reti 



24. Nelle equazioni (2) si ponga p = 2. Esse diventano 

 (34) 2 i s = n s — 1 — v, 2i=3 (m -1) + ». 



Allorquando n e v sono numeri intieri dati ed è 



( n _ l)(n _ 2) 



ti 



> 2, < v < 



ogni soluzione di queste equazioni determina una rete di linee dell' ordine n e del 

 genere v. Tutte le linee L„ v della rete hanno comuni punti multipli secondo i 

 numeri % t , i. , , . . . i t e sono tali che ognuna di esse è determinata da due punti. 

 I punti comuni a tutte le linee della rete sono i punti base della rete, e base della 

 rete è il loro sistema. Allorquando le linee L„ y della rete sono linee semplici, due 

 qualsivoglia di esse s' intersecano fuori della base in 1-4-2? punti ; perchè il nu- 

 mero totale delle loro intersecazioni è n s e i punti che hanno comuni nella base 

 della rete equivalgono a 2 i s cioè a n s — 1 — v intersecazioni 



25. Sia L nV una soluzione delle equazioni (34). Indichiamo con JC„ V una linea 

 la quale soddisfaccia le equazioni (34) e inoltre passi per un punto o scelto ad 

 arbitrio nel piano dei punti base. La linea J2„ v sarà una soluzione delle equazioni 



(35) Er + l=« s -ì», 2 i ■+■ 1 = 3w — 2 -h v : 



