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 quindi infinite linee sono rappresentate dal simbolo jC„ v e sono le linee del fascio 

 determinato dalle equazioni (35). Tutte queste linee appartengono anche alla rete 

 determinata dalle equazioni (34): e se avvertiamo che il punto o è arbitrario, con- 

 cluderemo che le linee della rete determinata dalle equazioni (34) sono quelle di 

 infiniti fasci determinati ciascuno da due equazioni della forma (35) ; e più par- 

 ticolarmente che una linea della detta rete determinata da due dati punti o i e o s , 

 è la linea comune a due degli indicati fasci e che sono determinati 1' uno dal 

 punto Oj , 1' altro dal punto o s . 



Le linee della rete determinata, dalle equazioni (34) appartengono dunque tutte 

 a fasci determinati da equazioni della forma (35), perciò dalle proprietà geome- 

 triche dei fasci riuscirà agevole dedurre proprietà analoghe delle reti. 



26. In una soluzione delle equazioni (34) le linee della rete sieno ciascuna un 

 sistema di più curve C , C",... Siccome una linea L nV della rete è determinata 

 da due punti, si possono fare due ipotesi circa le curve C , C" , . . . : si può sup- 

 porre che di queste curve due sieno variabili (ciascuna determinata da un punto) 

 e le altre fisse, cioè comuni a tutte le linee della rete : ovvero che una sola delle 

 dette curve sia variabile (determinata da due punti) e le altre tutte fisse. 



Esaminiamo 1' ipotesi che fra le linee C , C ' , . . . sieno due curve variabili, 

 per es. C e C" e che le altre curve sieno fisse. Ognuna delle curve Ce C" è 

 determinata da un punto. Si fissi un punto o ad arbitrio che determini la curva 

 C e rimanga variabile la C '. Si forma così un fascio la di cui base è formata 

 dai punti base della rete e dal punto o e ogni linea del fascio è anche una linea 

 della rete ed è il sistema delle curve C , C" ' , .'. . fisse e della curva C ' varia- 

 bile. Le linee del fascio dovrebbero dunque soddisfare le equazioni (35) ed essere 

 ognuna il sistema di una o più curve fìsse e di una linea variabile la quale non 

 passa per tutti i punti base del fascio. Non potendo ammettersi siffatto fascio (n. 9) 

 dovrà essere esclusa 1' ipotesi che nel sistema L nV due siano le curve variabili. Se 

 dunque una soluzione Zv nV delle equazioni (34) è un sistema di più curve, una 

 sola del!e curve del sistema è variabile e le altre sono tutte curve fisse. 



27. Sia L„ v una soluzione delle equazioni (34) e sia un sistema di k curve 

 C , C" ,... fisse, diverse 1' una dall' altra e di una curva C sa variabile (n. 26). 

 Assumasi un punto o ad arbitrio nel piano della rete e si stabilisca che per questo 

 punto debba passare la curva variabile C sa , la quale però rimane ancora variabile 

 e si determinerebbe con un punto. Si ha così un fascio di linee, e le linee 

 (complesse) del fascio debbono soddisfare le equazioni (35). Si è dimostrato che 

 tal fascio è possibile soltanto se la curva variabile passa per tutti i punti base 

 del fascio (n. 9) e le curve fisse sono tutte razionali e di ordine inferiore all' or- 

 dine della curva variabile (n. 10); e che allora il genere della curva variabile è 

 v -+- k, essendo k il numero delle curve fisse, e che 1' ordine di una curva razio- 

 nale fissa non può in nessun caso superare il numero (n — 3) : 2 (n. 11); pos- 

 siamo dunque senz' altro concludere che, se in una soluzione delle equazioni (34) 



